动量算符和角动量算符.ppt

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1、1.动量算符2.角动量算符§3.2动量算符和角动量算符1.动量算符（1）动量算符（1）动量算符（2）动量本征方程（3）求解动量本征方程（4）归一化系数的确定（5）箱归一化（2）动量本征方程其分量形式(3)求解动量本征方程采用分离变量法，令：代入动量本征方程分量形式且等式两边除以该式，得：这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数于是（4）归一化系数的确定动量的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为δ-函数。任何一个实际的波函数都不可能是严格的平面波，而应该是某种形式的波包。归一化为δ-函数，意味着什么？Dirac—函数定义或等价的表

2、示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：0x0x—函数的Fourier积分形式令k=px/,dk=dpx/,则性质xyzAA’oL（5）箱归一化在箱子边界的对应点A,A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数不能归一化为一，而只能归一化为δ-函数。但，如果加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件这表明，px只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。波函数变为这时归一化系数c可由归一化条件来确定：c=L-3/2，归一

3、化的本征函数为：关于箱归一化的讨论（1）箱归一化实际上相当于周期性边界条件。（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L,可以看出，相邻两本征值的间隔p=2/L与L成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小，当L时，本征值变成为连续谱。（3）只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为函数（4）p(r)exp[–iEt/]就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。（5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。否则，动量算符不是厄密算符！！！2.角动量

4、算符（1）直角坐标系中的角动量算符（1）直角坐标系中的角动量算符（2）球坐标系中的角动量算符（3）角动量本征方程（4）简并和本征值的简并度直角坐标与球坐标之间的变换关系xz球坐标ry(2)球坐标系中的角动量算符对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）有复合函数的微分将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：角动量算符在球坐标中的表达式代入（3）角动量本征方程I。波函数有限条件，要求z为实数；II。波函数单值条件，要求φ转过2π角回到原位时波

5、函数值相等，即：(I)Lz的本征方程、波函数和本征值归一化最后得Lz的本征函数和本征值：为使Y(,)在变化的整个区域(0,π)内都是有限的，则必须满足：=（+1),其中=0,1,2,...其中Y(,)与r无关，是球面函数，简称球函数，是L2属于本征值λ2的本征函数。此方程就是球谐函数方程。(II)L2的本征方程、波函数和本征值该方程的解就是球函数Ylm(,)，其表达式：归一化常数前几个球谐函数（4）简并和本征值的简并度由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。m的取值受的限制。对应一个值，m取

6、值为0,±1,±2,±3,...,±共(2+1)个值。即当确定后，尚有(2+1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2+1)个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是(2+1)度。根据球函数定义式