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1、§3.2动量算符和角动量算符1．动量算符和本征方程1).动量算符当波函数ψ表示为坐标x、y、z的函数时，动量p和动量算符−ih∇相对应，定义动量算符pˆ：∂∂∂rrp=−ihp=−ihp=−ihxyzp→pˆ=−ih∇∂x∂y∂z本征方程：rrrpˆψp=pψp−ih∇ψp(r)=pψp3.2-1各分量方程：r∂pˆψ=pψ−ihψ=pψxpxppxp∂xr∂pˆψ=pψ−ihψ=pψypyppyp∂yr∂pˆψ=pψ−ihψ=pψzpzppzp∂z它们的解是rirrψ(r)=cexp(p⋅r)3.2-2phvvp可取任意实数值，即
2、动量算符的本征值p组成连续谱，相应的本征函数为(3.2-1)式所表示的vψv(r)，这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。p2)．动量算符本征函数的归一化a．理想的平面波的归一化问题ivrivr−p⋅rp⋅rω=ψ*ψ=*hh=*QppAeAeAA*22∴ψψdτ=Adτ=Adτ=∞∫∫pp∫——趋于发散（此波函数不是平方可积，因而不能按这种方式归一化，否则，归一化因子A只能为零，这显然没有意义）。b．归一化为δ函数ivrivrp⋅r−p⋅rψ=Aehψ*=A*ehpp′rr——上式中p与p′有微小差别，是归一化为δ
3、函数的关键。*rr2⎧i[]⎫∫ψp′(r)ψp(r)dτ=c∫∫∫exp⎨(px−px′)x+(py−py′)y+(px−pz′)z⎬dxdydz∞±∞⎩h⎭而1∞⎡i⎤∫−∞exp⎢(px−px′)⎥dx=2πhδ(px−px′)⎣h⎦∞⎡i⎤∫−∞exp⎢(py−py′)⎥dy=2πhδ(py−py′)⎣h⎦∞⎡i⎤∫−∞exp⎢(pz−pz′)⎥dz=2πhδ(pz−pz′)⎣h⎦式中δ(p−p′)是以p−p′为宗量的δ函数，故有xxxx*rr23rr∫ψp′(r)ψp(r)dτ=c2(πh)δ(p−p′)∞若3r−C取(2
4、πh)2，则ψ(r)归一化为δ函数p即*rrrr∫ψp′(r)ψp(r)dτ=δ(p−p′)3.2-3∞irrr1(p⋅r)ψ(r)=eh3.2-4p3()2πh2rrψ(r)不是归一化为1，而是归一化为δ函数，是由于p的本征值可以任意取值，动量本p征值构成连续谱所致。3）．箱归一化有各边长均为的箱子，建立以箱中心为原点的坐标系，箱中有自由微观粒子lirrrp.r⎡i⎤ψ(r)=ceh=cexp(px+py+pz)p⎢hxyx⎥⎣⎦在箱的表面应满足周期性的边界条件亦⎡i1⎤⎡i1⎤cexp(−pl+py+pz)=cexp(pl+py
5、+pz)⎢h2xyz⎥⎢h2xyz⎥⎣⎦⎣⎦或⎛i⎞exp⎜pxl⎟=1⎝h⎠因⎛i⎞11exp⎜pxl⎟=cos(pxl)+isin(pxl)=1⎝h⎠hh所以2⎧pxl=2πnn=,0±,1±,2L⎪xxh⎪⎪py同理⎨l=2πnyny=,0±,1±,2L⎪h⎪pzl=2πnn=,0±,1±,2L⎪zz⎩h于是得到分立值⎧2πnxhp=⎪xl⎪⎪2πnyh⎨py=⎪l⎪2πnhzp=⎪z⎩l相邻本征值2πhΔp=xllimΔp=0xl→∞——相邻本征值的间隔与成反比，当选取足够大时，本征值的间隔可以任意小，当lll→∞时，本征值
6、谱就由分立谱变为连续谱。归一化irrirr*rr2−p⋅rp⋅r23ψ(r)ψ(r)dτ=cehehdτ=cl=1∫∫∫p′p∫∫∫ml2ml2所以3−c=l2即：1⎛irr⎞ψp=2/3exp⎜p⋅r⎟3.2-5l⎝h⎠ll——箱归一化主要是加入边界条件使积分有限（−,）22注：箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为δ函数方法对任何连续谱都适用。2．角动量算符1).定义r在经典力学中，动量为p，对O点的位置矢量为r的粒子，它绕O点的角动量是rrrl=r×p因而，量子力学中，角动量算符是3rlˆ=rˆ×pˆ=−ihr×∇2).角动量
7、的对易式①在直角坐标系中角动量算符的对易关系vˆvvˆvˆˆˆvvv角动量算符lrpir=×=−×∇=+hlelele+xxyyzzvˆl在直角坐标中的三个分量可表示为lyˆpzˆˆpiyzh()∂∂=−=−−xzy∂zy∂lzˆpxˆˆpizxh()∂∂=−=−−yxz∂x∂zlxˆpyˆˆpixyh()∂∂=−=−−zyx∂y∂x[,]llˆˆ=ilhˆ，[,]llilˆˆ=hˆ，[,]llˆˆ=ilhˆ（要求会证明）xyzyzxzxyvˆˆvvˆ⇒llil×=hvvˆˆvˆllil×=h是角动量算符的定义式。[,]lliˆˆ=
8、hεlˆαβαβγγ式中εαβγ称为Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：⎧ε=−εε=−αβγβαγαγβ⎨⎩ε=1123其中α,,β=xyz,或1,2,3证明：[,]xlixˆ=hε或[,]lxiˆ=hεxα
