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《表示力学量的算符 动量算符和角动量算符.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章量子力学中的力学量本章要求1了解希耳伯特空间,态矢量,内积等概念,了解算符的性质和运算规则。2掌握动量算符的本征值方程及其本征函数的箱归一化问题。3掌握角动量算符的本征值方程、本征函数（球谐函数）及本征值问题。掌握角动量算符的对易关系。4掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。了解氢原子内电子坐标取值的概率分布、电流密度分布和原子磁矩的概念。5掌握厄密算符的性质：本征值为实数，本征函数的正交性和完备性。6理解和掌握测不准关系。教学内容§1表示力学量的算符§2动量算符和角动量算符§3电子在库仑场中的运动§4氢原子§5厄密算符的本征值与本征
2、函数§6算符与力学量的关系§7共同本征函数§8测不准关系（一）算符定义（二）算符的一般特性§1算符的运算规则代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2，其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1
3、是任意两个波函数。（2）算符相等开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（二）算符的一般特性若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等，记为Ô=Û。（3）算符之和显然，算符求和满足交换率和结合率。可以证明线性算符之和仍为线性算符。若两个算符Ô、Û之和定义为：对体系的任何波函数ψ有：(Ô＋Û)ψ=Ôψ+Ûψ（4）算符之积一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。对易关系算
4、符之积定义为：对于任意波函数ψ，有(ÔÛ)ψ=Ô(Ûψ)写成通式:量子力学中最基本的对易关系（5）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。（6）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ2.性
5、质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1单位算符I:IΨ=Ψ,Ψ为任意波函数设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（8）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭。例如:坐标表象中（7）算符函数利用波函数标准条件:当
6、x
7、→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以
8、同理可证:（9）转置算符(10)厄密共轭算符由此可得：算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+(11)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。是线性算符不是线性算符是线性算符2．指出下列算符哪个是
9、厄米算符，说明其理由。不是厄米算符。是厄米算符。§3.1表示力学量的算符一、算符１、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。２、算符的本征值方程３、算符的例子<1>动量算符：分量式：动量算符 表示动量这个力学量。<2>坐标算符：<3>哈密顿算符：经典的哈密顿函数： ，将代入 中：<4>量子力学中力学量用算符表示的规则：如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量的算符 由经典表示式 中将 换为算符 而得出：例如，角动量算符：量子力学中的角动量算符：角动量算符三、力学量用厄米算符表示(Hermitoperator)１
10、、当体系处于定态，即哈密顿算符 的本征态 时，能量有确定值 ， 即本征值。当体系处于动量算符的本征态 时，动量有确定值，这个值即 在 态中的本征值。２
