3.2 动量和角动量算符

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1、1.动量算符§3.2动量算符和角动量算符本征方程则预备知识（2）动量本征方程（3.2.1）求解采用分离变量法，令：代入动量本征方程（3.2.1）且等式两边除以该式，得：（3.2.2）解之得：于是：这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。（3.2.3）则具有连续谱的本征函数(动量的本征函数)是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。连续谱如果力学量算符的本征值是连续的即这就是连续谱本征函数的归一化.如果取

2、c

3、2(2π)3=1则ψp(r就可归一化为δ-函数。归一化系数的确定(3.2.4）

4、(3.2.5）据上所述，具有连续谱的动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。2.角动量算符（1）角动量算符的形式根据量子力学基本假定量子力学角动量算符为:经典力学中，若动量为p，相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是：(I)直角坐标系角动量平方算符(3.2.10）(3.2.11）直角坐标与球坐标之间的变换关系xz球坐标ry这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐标对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）则有：(3.2.12）可得

5、：(3.2.13）则角动量算符在球坐标中的表达式为：(3.2.14）(3.2.15）角动量算符(方法2)在直角坐标系,位置矢量和梯度算符可表示为在球坐标系,位置矢量和梯度算符可表示为所以其中利用其中利用所以所以将其变为可解出首先看角动量的分量的本征函数设其本征函数为对应的本征值为本征方程为由波函数单值性要求故必须是整数可见本征值是量子化的分立谱。利用归一化条件得归一化的波函数为L2的本征值问题L2的本征值方程可写为：为使Y(,)在变化的区域(0,π)内是有限的，则必须满足：=（+1),其中

6、=0,1,2,...其中Y(,)是L2属于本征值2的本征函数。此方程就是球谐函数方程(3.2.18）该方程的解就是球函数Ylm(,)，其表达式：归一化系数，由归一化条件确定(3.2.21）(3.2.19）(3.2.20）由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。对应一个值，m取值为0,±1,±2,±3,...,±共(2+1)个值。因此当确定后，尚有(2+1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2+1)个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是(2+

7、1)度。Lz的本征方程(3.2.23）L2的本征方程(3.2.22）例:若体系的波函数就是球谐函数(1)求其角动量矢量与轴的加角.(2)若体系的波函数为