集值优化问题严格有效解的一、二阶最优性条件-论文.pdf

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1、数学物理学报2014，34A(1)：193206http：／／actams．wipm．ac．c／1集值优化问题严格有效解的一、二阶最优性条件柴艳飞刘三阳(西安电子科技大学数学与统计学院系西安710071)李军(西华师范大学数学与信息学院四JI『南充637002)摘要：首先定义了集值优化问题的m阶局部严格有效解并在赋范空间中研究了解的一些性质．在一定条件下，利用Dini导算子和支撑函数确立了m1阶严格有效解存在的充分必要条件．关键词：集值优化；一、二阶最有性条件；支撑函数；严格最优解；Dini导算子；切锥．MR(2000)主题分类：90C25；9

2、0C30中图分类号：0224文献标识码：A文章编号：1003．3998(2014)01—193—141引言许多学者已经定义了优化问题的m1阶严格有效解并研究了它的最有性条件，如文献89，17—18]等．而后，Jim~nez等(见文献[11])在有限维空间中确立了Hadamard方向可导函数向量优化问题m1阶解存在的充分必要条件；在文献[14]中作者确立了二次Fr6chet可微函数，：一p的一、二阶局部严格Pareto型最优解存在的充分条件；此后，作者又把这些结果推广到目标函数。厂只是二次方向可导(不是Fr~chet可导)的向量优化问题中(见文献

3、[12，131)，而且为了得到相对应的结果作者在文献[12]中引进了支撑函数这一概念．近年来学者们对集值优化问题的兴趣越来越浓，分别利用集值映射的切向导算子，切向上图导算子以及广义切向上图导算子得到了集值优化问题的最优性条件(见文献[23，5-6，l01)．于此同时，学者们引进了更为广义的导算子概念，如文献[4，7，15—16]中引入的Dini方向导算子．在文献『71中，作者利用上半Dini方向导算子获得了一阶最优解的充分必要条件．受文献f7，12，14]等启发，本文首先定义了集值优化问题m阶严格有效解，然后利用Dini方向导算子和支撑函数得到

4、了集值优化问题m阶严格有效解存在的一些充分必要条件．本文主要由以下四部分组成．第一部分是预备知识；第二部分，我们定义了集值优化问题的m阶严格有效解并研究了解的性质；第三部分，引进了集值映射的支撑函数这一概念收稿日期：2012—04—07；修订日期：2013—08—17E—mail：chyf一0923@163．com基金项目：国家自然科学基金(61373174，11371015)、教育部科学技术重点项目(211163)和四川省青年科技基金(2012JQ0032)资助194数学物理学报v0l_34A并讨论了支撑函数的一些运算性质；最后一部分主要给出

5、集值向量优化问题一、二阶严格有效解存在的充分必要条件．本文，如果没有特别说明，总假设和y是赋范空间，M是的一个子集，D是y中的闭凸点锥．记B(x0，)是以Xo为中心为半径的开球．设intM，clM和coneM分别是M的拓扑内部，闭包和锥包．的拓扑对偶空间记为，如果f∈X，X∈X，我们用f表示f在点处的值．M的正极锥表示为M+=ff∈X：Ix0，Vx∈1．本文研究如下集值广义向量优化问题Min{F(x)：z∈M)，(1．1)这里F：X一2y是集值映射．f(F())0表示f(F())c[0，+o。)，这里f(F(z))=Uly．记∈F()GrF={

6、(，Y)∈X×y：Y∈F())为F的图．设X0∈M．称点(X0，Yo)∈GrF是优化问题(1．1)的局部最优解(或弱局部最优解)，记为(X0，Yo)∈Lmin(F,M)(或(X0，Yo)∈W—Lmin(F,M)))，如果存在X0的领域使得(F(x)一Yo)n(一D＼{O))=0，Vx∈MnU或(F(x)一Yo)n(～intD)=仍，Vx∈MnU．设AcY．称Yo∈A是的极小点(或弱极小点)，记为Yo∈MinA(或Y0∈w—MinA)，如果(A一o)n(一D)={0)或(一o)n(一intD)=0．定义1．1设ml是整数，X0∈M．称(X0，Yo

7、)∈GrF是优化问题(1．1)的m阶局部严格有效解，记为(X0，Yo)∈Strl(m，M)，如果存在>0以及0的领域使得(F(x)4-D)nB(yo，ll—Xoll)=D，Vx∈MnU＼{0)．注1．1这一定义是对单值映射m阶严格有效解(见文献[12，定义2．5])的推广．注1．21阶严格最优解与i-minimizer(见文献[7])有一些不同，即i-minimizerStrl(1，M)．下面例子可以说明这一点．例1．1设M=R，D=以及F：一2R。定义为Fc=：：，，取X0=0，(0)=(一；)．设Y3=(一1，1)，Y3=(一2，)，贝0{

8、(o，8)u(0，))CStrl(1，M)，但是只有(X0，3)∈i-minimizer．易知，任意Jm，都有m阶局部严格有效解一定是J阶严格有效解，