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《广义凸性下的集值优化最优性条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第1章引论BCD为锥D的基，如果。OclB且D10)-coneB-俩:.1>O,bGB)。令B0-{y'EY':存}F1，”使得(y’，岭-t,VbEB).1.1.1广义集值谁凸函数本节以下假设X,Y,Z为实拓扑线性空间，D是Y中的凸锥，F:X-2r是集值映射。F的图定义为graph(F):={(x,y)EX.Y:.Edo,4F}yEF})}.F的上图定义为epi洲:={(x,y)EXXY:XEdom(FjYEFixj+D}.D一凸集值函数:M为X中的任一凸子集，F:X-2Y。如果对x=x2EM,A
2、E[O,1J，均有;LF(x,)+(1-A)F(x,)CF(Ar,+(1-A)X2)+D,称F(x)在M上是D一凸的.F:X-+2Y称为是在MCX上D一近似次类凸集值函数，如果cl(F(M)+intD).是凸的，非空集合A称为内部凸“-convex)的t.l，如果intA是凸的，且ACclintA.非空集合A称为内部锥凸(ic-convex)的5.，如果concA是内部凸的。非空集合A称为是内部锥D凸(ic-D一.nvex)的is)，如果A+D是内部锥凸的。F:X-+2y称为是内部类凸(内部锥类凸，内
3、部锥D类凸)的1.，如果imF是内部凸‘内部锥凸，内部锥D凸)的，其中imF-F(X)-公F(x).第1章引论1.1.2切导数定义1.1.2.1(a)设(X，}}:)和(Y，}}}，)是实赋范线性空间，F:X-2Y是集值映射。集合graph(F):二1(x,y)EXxY:xEdom(F}yEF(x)}称为F的图。和)设E是实赋范线性空间，S是E的一非空子集，maEc1S,S在%的切锥T(S,mo)是所有满足下面条件的hEE的集合:存在正数列认I以及序列权}CS使得恕W.·%与悠t.(-.一%卜h.(}
4、)设(X，}lx)和(Y，!}u.)是实赋范线性空间，F:X一2y是集值映射仅y卜graph(F)是给定元素，集值映射DF(x,y):X}2Y它的图等于F的图在(x,y)处的切锥，即graph(DF(x,y))-T(graph(F),(x,y))称DF(x,y)为F在仅y)处的切导数.定义1.1.2.2(a)设(X，u}:)和(Y，}}，)是实赋范线性空间:Y是由序锥D导出的偏序线性空间;设S是X的非空子集，F:S-2r是集值映射。集合epi(F)-((x,y)EXxY卜ES,yEF(x)+D)是F的
5、上图.(b)设(x,y)EXxy是给定的元素，且xES,yEF(x)，一个单值映射DF(x,y):X-Y，它的上图定义为与F的上图在(x,Y)处的切锥相等，即:epi(DF(x,y))一T(epi(F),(x,y))，则称。F(x,y)为F在(x,y)的切上导数。切导数与切上导数的本质区别在于前者的图被后者的上图代替，且前者是集值映射，后者是单值映射。第1章引论定义1.1.2.3一个集值映射几F(x,y):S一{x}"2r称为F在(x,Y)的广义切上导数(其中xeS,yEF(x))，若几F(x,yxx
6、)-min{yEY:(x,y)ET(epiF,(x,y))}dxES-{x}其中minU是M的极小元的集合。2003年，龚循华和董洪斌为了克服Jahn和Rauh定义的切上导数不一定存在的缺陷，把单值切上导数推广为集值的切上导数，其定义为定义1.1.2.4设(xo,Y.)EBraph(FIF在(X.,Y.)的切上导数DF(xo,Y.)是从X到Y的集值映射，它的图与F的上图在(txo,Y.)处的切锥相等，一即graph(DF(xo,Yo))-T(epi(F),(xo,Yo》亦即yEDF(xo,Yoxx)当
7、且仅当存在epi(F)中的序列{(x.,Y.)}以及正数序列{r.},使之满足竺(w,Y.)一(xo,Y.)及1imt.(x.一xo,Y.-Yo)-(x,Y)这个概念的引进使切上导数的存在性得到了保证，去掉了切导数存在的严格条件，从而得到了形式简洁的集值优化问题弱有效解的充分必要条件。1990年JPAubin给出了二次切元素集(二次切锥)的概念其定义为定义1.1.2.5设E是一个实赎范空间，G是E的非空子集。设coEE,GZEC1佑)沿方向。EE的二次切元素集护俗，又司是满足下面条件的元素z的集合:存
8、在序列{z.}CE,z..yz，存在序列认ICP且人一。，使得z+x.ar+}。。.等价定义二次切元素集:2(G,z,司是所有满足下面条件:的集合:存在{a.}CP,jO.}CP,{z.}CG,a.一“一，(又)一2,z.-z，且第1章引论、认一刁一。，几仁.卜。一刁一。}一:.从二次切锥的定义可以看出切锥是二次切锥的特殊情形，即当m-0时:，仁z,0)-T(G,刁219年，JahnJ,IQwnAA,andZeilingerP引进了集值映射的二次切上导数
