集值优化问题超有效解的广义高阶导数型最优性条件

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1、第1章引论类凸集值映射给出几个等价刻画和一个择一定理。利用这些概念与结果，建立了(SP)的标量化定理和Lagrange乘子定理；在对适当的集值Lagrange映射提出真鞍点的新概念后，用它给出了真有效解的充分或必要条件。盛宝怀在[13]中对超有效点、Benson真有效点给出了Kuhn．Tucker型最优性条件。WangQL[14】引入了广义高阶相依(邻接)集和集值映射的广义高阶锥方向相依(邻接)导数，讨论了集值映射的高阶Mond．W_eir对偶型集值优化问题。WangQL，LiSJ，TeoKL【I副在非凸性的假设下，利用广义高阶导数得到了集值优化问题

2、取得弱有效解的充分必要最优性条件。王其林等【l6J利用广义高阶锥方向导数给出了约束条件分别由一个集合和集值映射决定的集值优化问题取得弱极小解的广义高阶必要和充分最优性条件。凸性在优化领域扮演着十分重要的角色，2001年Yang等【17J引进了近似锥次类凸性(nearcone．subconvexlikeness)，2005年Sachl22J引入了另一种凸性称为内部锥类凸(ic—cone．convexlikeness)，Xul2驯证明了近似锥一次类凸是内部锥类凸的推广，因此，近似锥一次类凸是一种非常弱的凸性。对偶理论在数值分析、工程等其他领域中起着重要的

3、作用，许多学者在不同的假设条件下，研究了Mond．Weir型对偶、弱对偶、强对偶和逆对偶的集值优化问题。并借助高阶导数或上导数推出高阶切集来研究高阶优化条件和集值优化问题的对偶。因此对偶也备受关注【14，3卜391。W色ir和Mond[391在不同的psedo凸和quasi．凸假设下，获得了多目标优化问题的弱、强和逆对偶的弱最小解。Preda和Koller[34J推出了关于集函数的优化问题的Mond．Wdr型对偶问题和讨论了在广义psedo一凸和广义quasi．凸假设下Mond．Weir型对偶。Sach和Cravenl351在集值映射满足凸性和集值映

4、射切导数条件下，得到了集值优化的Mond．Weir型对偶定理．在此基础上，Sach等【35J在集值映射满足广义凸性和集值映射的余微分的条件下，讨论了集值优化问题的Mond—Weir型对偶和强对偶。Li和Chen[9]研究了在锥凸假设下集值优化问题在高阶导数的(弱)最大解的高阶Fritz．John型充要优化条件。基于这些概念，Li掣酬讨论了集值优化的高阶Mond．w曲型对偶。1．2预备知识总假设x，】，，Z是三个实赋范线性空间，C，D分别是】，，Z中的闭凸点锥且intC≠⑦，intD≠⑦。设S是】，中的任一子集，我们用clS，ireS，coneS分第1

5、章引论别表不S的闭包、内部和生成锥。一个凸子集BcC称为锥C的基，如果0诺clB且C=coneB。C的对偶锥定义为C+={．厂∈】，+：厂(c)≥o，VCEC)．若BcC为锥c的基，则万=inf{bl：b∈B)>0。对任意的0

6、，Y∈F(x)+c}．1．2．1广义集值锥凸函数C一凸集值函数【40】：设EcX为一凸集，F：Ej27．如果对X1x2∈E，旯∈【o，1]，均有肛G。)+(1—2)F(x：)cF(Ax．+(1一旯b：)+c，则称FG)在E上是C一凸的。设E是X的非空子集，刁是E×E到X的向量值函数。E称为77一不变凸的[411，如果对任意的x，Y∈E和旯∈[o，1]有Y+九77(x，少)∈E．集值函数，称为在77一不变凸集E上是C一准不变凸的[411，如果对Vx，，x：∈E和V兄∈[o，1]，有第l章引论AF(x1)+(1一X)F(x2CF(x2+xrl(xl，x2

7、))+c．集值函数F称为在E上是c一类凸的[201，如果V_，x：∈E及VA∈(o，1)有见FG。)+(1一无)F(戈：)cF(E)+c．集值函数F称为在E上是C一次类凸的[201，如果30∈intC使得Vxl，x2∈E，V2∈(o，1)，Vs>0，有胡+ZF(x。)+(1一A)F(x：)cF(E)+C．集值函数F称为在E上是近似c一类凸的‘421，如果cl(F(E)+c)是凸集。集值映射F称为在E上是近似c一次类凸的旧，如果clcone(F(E)+C1是凸集。[17】中得到了以下结论：C一凸专C一准不变凸◆C一类凸-->C一次类凸专近似C一类凸专近

8、似C一次类凸，其反包含关系不成立。集值映射F在E上在(Xo，％)处是广义C一凸的‘31，如果cone(epi