2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_2_3_1直线与圆的位置关系学案北师大版必修2.docx

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1、一　直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　)(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　　)(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√题型一直线与圆的位置关系的判定【典例1】　已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离.[解]　解法一(代数法)：联立消

2、去y,整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2).(1)当直线与圆相交时，Δ>0，即－.解法二(几何法)：圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离d＝＝.由条件知，圆的半径为r＝1.(1)当直线与圆相交时，dr,即>1，得k

3、<－或k>.　直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[针对训练1]　(1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相交　　　　　　B．相离C．相交或相切D．相切(2)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．[解析

4、]　(1)由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0),而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.(2)当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，故可设直线y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0，圆心到直线的距离≤1，解得0≤k≤，即0≤tanα≤，即0≤α≤.[答案]　(1)C　(2)题型二圆的切线问题【典例2】　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．[思路导引]　设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率

5、，注意斜率不存在的情况．[解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．即kx－y－3－4k＝0，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即

6、k＋4

7、＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋

8、8y－36＝0或x＝4.(1)过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．(2)一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．[针对训练2]　求过点(1，－7)且与圆x2＋y

9、2＝25相切的直线方程．[解]　由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴＝5.解得k＝或k＝－.∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.题型三弦长问题【典例3】　(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．(2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．[解析]　(1

10、)由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，则有

11、AB

12、＝2＝2＝.(2)圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝＝＝3.因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.