高中数学第2章解析几何初步22.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系学案北师大版

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1、第1课时　直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点)2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点)3.会求简单的弦长及圆的切线方程等问题．(重点)1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系培养直观想象素养.2.通过求简单的弦长及圆的切线方程等问题提升数学运算素养.　直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法：位置关系图示几何法代数法相离d>rΔ<0相切d＝rΔ＝0相交d0其中Δ是由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方

2、程的判别式．思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)A．过圆心　　　　　　B．相切C．相离D．相交D　[圆心为(1，－1)，圆心距d＝＝＜3＝r，所以直线与圆相交．]2．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(

3、3，＋∞)　[圆x2＋(y－1)2＝2的圆心为(0,1)，半径为r＝，圆心(0,1)到直线x＋y－a＝0的距离d＝，依题意，>，解得a<－1或a>3.]3．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则

4、AB

5、＝________.2　[d＝＝，所以

6、AB

7、＝2＝2＝2.]直线与圆位置关系的判断【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点．[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4

8、＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2时，即－

9、没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过对定点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相交　　　　　　　B．相离C．相交或相切D．相切C　[直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而点(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.]直线与圆相切问题【例2】　(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一

10、点P(3,3)的切线方程为(　　)A．2x－y＋9＝0　　　　B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0D．2x－y－9＝0(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)A．1B．2C.D．3(3)求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程．(1)B　(2)C　[(1)由题意得，圆心(1,2)，切点P(3,3)，则切线斜率为－2.所以切线方程为y－3＝－2(x－3)，即：2x＋y－9＝0.(2)由题意得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.](3)解：

11、易知点P(2,3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3.]过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种方法：(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k