2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_2_3_2圆与圆的位置关系学案北师大版必修2.docx

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1、二　圆与圆的位置关系圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两圆无公共点，则两圆相离．(　　)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切．(　　)(3)设两圆的圆心距为l，两圆半径长分别为r1，r2，则当

2、r1－r2

3、＜l＜r1＋r2时，两圆相交．(　　)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切

4、线．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√题型一两圆位置关系的判定【典例1】　a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0(1)外切；(2)相交；(3)相离.[思路导引]　利用圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系判定这两圆的位置关系．[解]　将两圆方程写成标准方程，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9,C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的

5、圆心距为d,则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当15，即2a2＋6a＋5>25时，两圆相离，此时a>2或a<－5.(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径.②计算两圆圆心的距离d.③通过d，r1＋r2，

6、r1－r2

7、的关系来判断两圆的位置

8、关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[针对训练1]　(1)圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是(　　)A．相离B．相交C．外切D．内切(2)已知0

9、)2＝1,∴两圆圆心分别为(0,1)，(4，－2)则圆心距为＝5，由d＝5>r1＋r2＝1＋2,∴两圆相离.(2)两圆的圆心分别为(0,0)，(1，－1),半径分别为r，，两圆心距d＝＝，∵0

10、r－

11、<，∴

12、r－

13、

14、标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.又∵

15、C1C2

16、＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，∴r1－r2＜

17、C1C2

18、＜r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)解法一：由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，∴公共弦长l＝2＝2＝2.解法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程

19、组解得或即A(－4,0)，B(0,2)．所以

20、AB

21、＝＝2，即公共弦长为2.(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．[针对训练2]　已知

22、圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[解]　设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.又C1到直线AB的距离为d＝＝.∴

23、AB

24、＝2＝2＝.即两圆的公共弦