2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系讲义苏教版必修2

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1、2.2.3　圆与圆的位置关系学习目标核心素养1.能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(重点)2.当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．(易错点)3.了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.圆与圆的位置关系1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2

2、r1－r2

3、

4、r1＋r2d＝

5、r1－r2

6、d<

7、r1－r2

8、2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．1.思考辨析(1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．(　　)(2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　)(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　)(4)若两圆有公共点，则

9、r1－r2

10、≤d≤r1＋r2.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的公共弦所在的直线方程为______________．x＋y＋2＝0　[联立①－②

11、得：x＋y＋2＝0.]3．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．(－1，0)和(0，－1)　[由解得或]4．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有________条．3　[圆C1的圆心坐标为C1(－2，2)，半径r1＝1.∵圆C2的圆心坐标为C2(2，5)，半径r2＝4.∴

12、C1C2

13、＝＝5，r1＋r2＝5，∴两圆外切．故公切线有3条．]两圆位置关系的判定【例1】　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.

14、(1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？思路探究：(1)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1＋r2和

15、r1－r2

16、的大小关系．(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d<

17、r1－r2

18、.[解]　(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距d＝＝2，又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，∴r1－r2

19、C2内含，则<3－1，即(m＋1)2<0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C1与圆C2内含．判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．[解]　对圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2

20、＝1，∴

21、C1C2

22、＝＝a，(1)当

23、C1C2

24、＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当

25、C1C2

26、＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3<

27、C1C2

28、<5，即3

29、C1C2

30、>5，即a>5时，两圆外离．(4)当

31、C1C2

32、<3，即0

33、点A的坐标代入两圆方程，得①－②，得x1－2y1＋4＝0，故点A在直线x－2y＋4＝0上．同理，点B也在直线x－2y＋4＝0上，即点A，B均在直线x－2y＋4＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x－2y＋4＝0，即公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.(2)圆C1的方程可化为(x－1)2＋(y＋5)2＝50，所以C1(1，－5)，半径r1＝5.C1(1，－5)到公共弦的距离d＝＝3.设公共弦的长为l，则l＝2＝2＝2.1.利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如

34、此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．2.求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直