2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.2直线与圆的位置关系讲义苏教版必修2

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1、2.2.2　直线与圆的位置关系学习目标核心素养1．掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法．(重点)2．能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系，解有关弦长的问题．(重点)3．理解一元二次方程根的判定及根与系数关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题．(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.直线与圆的位置关系及判断方法直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判

2、定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形1.思考辨析(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　)(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(　　)(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．相交　[由题意知点M

3、(a，b)在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为________．2　[由直线与圆的距离d＝＝，解得m＝2.]4．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若

4、AB

5、＝2，则圆C的面积为________．4π　[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝.

6、AB

7、＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的

8、距离d＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]直线与圆的位置关系的判断【例1】　已知直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位置关系．思路探究：法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0，1))．[解]　法一：∵∴5x2＋4x－3＝0.判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0.∴直线与圆相交．法二：∵x2＋y2＝4，∴圆心为(0，0)，半径r＝2.又∵y＝2x＋1，∴圆心到直线的距离d＝＝<2＝r.∴直线与

9、圆相交．法三：由题意知，直线过定点(0，1)．而02＋12＝1<4.所以点(0，1)在圆内，从而直线与圆相交．直线与圆位置关系的判定方法1．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆

10、有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2，即－

11、与圆没有公共点．直线与圆的相交弦问题【例2】　(1)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是__________．(2)已知过点(2，5)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为4，则直线l的方程为__________．思路探究：(1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的方程求解，验证斜率不存在的情况．(1)－4　(2)x－2＝0或4

12、x－3y＋7＝0　[(1)将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.(2)当直线斜率不存在时，x－2＝0满足题意；当直线斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0.圆C：x2＋y2－2x－4y＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，因为直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为4，