高考物理考前冲刺Ⅰ专题04数学归纳法解题方法及其应用.doc

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1、2020考前冲刺物理专题4数学归纳法解题方法及其应用在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下可以用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数n的命题，由n=1命题成立，可推知n=2命题成立，继而又可推出n=3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n>=1的自然数都成立，下面略举几例说明这一方法的应用，供同行参考。例1、雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为M，初速度为-，下降距离『后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为X。

2、此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为“匚、违"I（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响，求（1）第1次碰撞前、后雨滴的速度丫：和—mT*3（2）求第n次碰撞后雨滴的动能：'解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动,碰撞瞬间动量守恒第1次碰撞前X=记+2g/,Vl-尿+20第1次碰撞后(2)第2次碰撞T-IV利用(1)式化简得叩第2次碰撞后，利用(2)式得同理，第3次碰撞后第n次碰撞后速度为故第n次碰撞后雨滴的动能为M-I牌胡+2辺Miff-0例2、如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的

3、球与质量为M=19π⅛勺金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处.求经过几次碰扌直后绝嫌球偏离竖直方向的最大角度将小于45c.解析：由题意知每次碰撞都发生在逼低為且対弹性正碰设小球n的撰线长庫为L,向左为速度的正方向，第一次碰撞前后绝缘小球的速度分别=、二，金属球的速度为由动量守恒得：--丄^lrVn-—Λ∕TζaIa由机械能守恒得：2212*9W1Vl=—Vn叭=—Vfl且Λf=l‰,解得10051

4、0第二次碰撞前后有，由动量守恒辭：fflv1=AfVrt-mv2由机械能守恒得；W!V12=ɪJkT^2+g杭叫同理可得第三次碰撞前后有,Wv2=—wv3Vi解得由此可知V第n次碰撞后，绝缘小球的速度为,金嗣的越卜EO-ɪwVea=wg/(l-COS¾)a„o设第一次碰前绝缘球的动能为：，其中■"'v03=0811S0=MgZ(I-COS&)”訥=0.586I其中B=^5,则禺得0$严=0586,因为OSli=0.531，-0^56,所以2

5、道，BC段水平，AB段与BC段平滑连捋.质重沖尬】的小球从高位为处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为®的小球发生碰撞，碰撞右两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失.求碰撞后小球处2的速度大小v2；D斟I解析：(1)设碰撞前的谨应为，根据机械能守恒定律设碰撞后「与迁的速度分别为匚和二，根据动量守恒定律fπΛθ=mlτl+m2v2由于碰撞过程中无机械能损失^wlυU)=Jwlvl+2w2v2②、③式联立解得将①代入得④(2)碰撞过程中的能量传递规律在屋里学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后

6、速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为*、'5、P：讥-:、化的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能’'-∖-，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第T个球经过依次碰撞后获得的动能厂.:与、一之比为第1个球对第*个球的动能传递系数「”。求：(a)'iι(b)若"一,、P=氓、g为确定的已知量。求"：■:为何值时，值最大根据动能传递系数的定义，对于1、2两球£y_同理可得，域力2和球別•碰撞后，动能传述系数X应为Ir-Ea-Eg■圧D-Λm↑m^.4眄眄兄总==，，■，，—，-——=-■—「—‰¾

7、Eju(mi+mj)(m3+mi~)依次类推，初能传逋系数也应为〔叫-I+解加居•生•鱼...%_如2・4”2小跖%¾j∣-ι)(mi+fflj)3(m3+mj)4s^1JnIjnjnij'∙∙m,-ji∏j,(m]+ma)3(ma+m3)<..(w∣j,.1+ffl,)2、%=叫代入⑥式可得%=呎LR(I+彖呵+励］为使h最大，只需使呵(4朋0-t-w2)(w2+/())