一类二阶KdV类型水波方程的多辛Preissmann格式-论文.pdf

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1、第37卷第3期应用数学学报Vo1．37No．32014年5月ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAM，2014一类二阶KdV类型水波方程的多辛Preissmann格式王俊杰(普洱学院数学系，普洱665000)(E-mail：pedxsxxwjj@163．com)王连堂(西北大学数学系，西安710127)摘要二阶KdV类型水波方程作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景．通过引入正则动量，验证了二阶KdV类型的水波方程具有两种Hamilton系统多辛格式，并证实此格式具有多辛守恒律、局部能量守恒律和动量守恒律．基于Ha

2、milton空间体系的多辛理论研究了二阶KdV类型水波方程的数值解法，利用中心Preissmann方法构造离散多辛格式的途径，并构造了一种典型的半隐式的多辛格式，该格式满足多辛守恒律．数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性．关键词Hamiton系统；Preissmann格式；多辛算法；二阶KdV类型水波方程MR(2000)主题分类65M；656G中图分类0291引言Tzirtzilakis等人在【1-3]中建议研究一个更具有物理意义和更符合真实结构的二阶KdV类型的水波方程：++O[UU+2。+OL2plUr“z+(P2钆zz+p

3、3u∞：)=0，(1)其中Pi(i=1，2，3)是任意参数，，为正实常数．到现在，对方程(1)有了许多方面的研究[4-10]，其中，【4]应用平面动力系统理论本文2012年3月7日收到．2012年5月22日收到修改稿’云南省教育厅基金(2013Y106)资助项目．394应用数学学报37卷研究了方程(1)行波解的动力学行为，给出了系统存在孤立波解，周期波解，扭子和反扭子波解的充分条件，并计算出所有可能的精确行波解的参数表示．f2]通过局部坐标变换：u~V-OL2一(3p+p。一ps)，可以把方程(1)转变为下面等价的方程：t一兰2Vxxt-~-(一善

4、p。)。+一去p。(VVxxx2VxVxx)=0．(2)[11】通过应用平面动力系统理论研究方程(2)行波解的动力学行为，给出了系统存在孤立波解，周期波解，扭子和反扭子波解的充分条件，并计算出所有可能的精确行波解的参数表示．但是，由于数学理论上的困难，目前，还不能从理论上求得方程(12)的初值问题的精确解．鉴于此，国内外许多作者试图用数值方法来模拟方程(1—2)．[3】应用谱方法对方程f1)进行了数值模拟．由于谱方法不是保守的，因此长时间的数值模拟时会带来一定的耗散性，不能保持原模型一些物理性质．而冯康先生开创的Hamiton系统的辛几何算法【l2

5、】正是一种守恒算法，可以进行长时间的数值模拟．但用此方法对偏微分方程进行辛离散时具有局限性．为克服此局限性，Bridges和Reich引入了一个保持守恒型Hamiton系统局部多辛结构的多辛积分的概念[13-15]．本文的目的就是用多辛数值方法来模拟方程(2)的初值问题．第2节，对方程(2)进行等价变形后，通过引入正则动量，验证了二阶KdV类型的水波方程(2)具有两种Hamilton系统多辛格式，并证实此格式具有多辛守恒律、局部能量守恒律和动量守恒律。第3节，给出了二阶KdV类型的水波方程(2)的第2种多辛格式的离散多辛Preissmann格式，并

6、证实此格式在离散格式下忍保持多辛守恒律．在第4节给出了两个数值模拟，验证了本文的算法不仅简单，而且有长时间的稳定性．2二次KdV类型水波方程的多辛形式及守恒律根据Bridges关于多辛的定义，大量的偏微分方程都可以写成下列多辛Hamilton系统的形式【l5]：Mzt+Kz=s()，(3)其中，K∈Rn×(n3)是反对称矩阵．s：一R是光滑函数，称为Hamilton函数，。s(z)为函数S(z)的梯度．多辛Hamilton系统(3)具有下面多辛守恒律、局部能量守恒律、局部动量守恒律：定理2．1多辛Hamilton系统(3)满足多辛守恒律：ok叫+=

7、0u3期王俊杰，王连堂：一类二阶KdV类型水波方程的多辛Preissmann格式395其中：dzAMdz，：dzAKdz．定理2．2多辛Hamilton系统(3)具有局部能量守恒律：E十一2-r_0j(5)其中：E=s(z)一zKz，F=K，E为能量密度，F为能量流．定理2．3多辛Hamilton系统(3)具有局部动量守恒律：“G一0．(6)其中：：TMG：s()一丢zTM，为动量密度，为动量流．如果(，t)关于X是周期函数或者满足齐次边界条件，(3)满足整体能量和整体动量守恒律：dF(7)本文应用多辛Hamilton系统来研究系统(2)．经计算，

8、系统(2)存在多种多辛形式，下面给出两种多辛Hamilton系统形式．2．1第一种多辛Hamilton形式及守恒律对系统(