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1、应用数学和力学,第28卷第11期AppliedMathematicsandMechanics2007年11月15日出版Vol.28,No.11,Nov.15,2007文章编号:10000887(2007)11129611应用数学和力学编委会,ISSN10000887一类二次KdV类型水波方程的行波解12,311龙瑶,李继彬,芮伟国,何斌(1.红河学院数学系,云南蒙自661100;2.浙江师范大学数学系,浙江金华321004;3.昆明理工大学理学院,昆明650093)(我刊编委李继彬来稿)摘要:应
2、用平面动力系统理论研究了一类非线性KdV方程的行波解的动力学行为在参数空间的不同区域内,给出了系统存在孤立波解,周期波解,扭子和反扭子波解的充分条件,并计算出所有可能的精确行波解的参数表示关键词:孤立波解;周期波解;扭子波和反扭子波解;光滑和非光滑周期波中图分类号:O175.12文献标识码:A引言Tzirtzilakis等人在文献[12]中建议研究一个更具有物理意义和更符合真实结构的高阶KdV类型的水波方程!(见文献[34]),即22ut+ux+uux+uxxx+1uux+(2uuxxx+3uxuxx)=0,
3、(1)其中i(i=1,2,3)是任意参数,、为正实常数令u(x,t)=!(∀),∀=x-ct,则方程(1)可化为下列非线性行波方程:1212312(1+2!)!∀+(3-2)(!#)+1!+!+(1-c)!=0,(2)232且(2)式等价于下列二维系统2232d!dy3(3-2)y+21!+3!+6(1-c)!=y,=-(3)d∀d∀6(1+2!)令3=p2(p∃1)则(3)式有如下的首次积分21-p23y=h(1+2!)-(A0-2(p-1)A0!+C0!+D0!)/#,(4)其中,h是任意的常数,并且
4、2A0=6[2(p+1)(p+2)(c-1)+2(p+2)-21],22C0=3(p-1)p2[(p+2)2-21],3324D0=2(p-1)p(p+1)12,#=3(p-1)p(p+1)(p+2)2收稿日期:20060228;修订日期:20070917基金项目:国家自然科学基金资助项目(10231020);云南省自然科学基金资助项目(2003A0018M);云南省教育厅科学研究基金重点资助项目(5Z0071A)作者简介:龙瑶(1957%),女,云南西盟人,教授(联系人.Tel:+868733699239;Em
5、ail:yaolong04@163.com).1296龙瑶李继彬芮伟国何斌1297文献[5]在p<0的情况下,对孤立波解、周期波解、破缺波解、扭子波和反扭子波解的动力学性质进行了研究:当p<0时,系统(3)的相图中的平衡点以结点为主而当p>0时,系统(3)的相图中的平衡点只有鞍点(或退化鞍点)或中心所以,在以上两种情况下,相图中的轨线走势不一样,从而得到的解也不一样因此,有必要对p>0的情况作进一步的讨论,这就是本文的研究目标1系统(3)的相图的分支系统(3)有一条奇异直线!=!s=-1/(2),不利于进行研究,因
6、此令d∀=6(1+2!)d∃,则系统(3)化为下列系统d!dy2232=6(1+2!)y,=-(3(3-2)y+21!+3!+6(1-c)!),(5)d∃d∃显然系统(3)和系统(5)具有相同的首次积分,并且除了围绕奇异直线!=!s=-1/(2)的轨线外,两个系统具有相同的轨线分布因此,利用系统(5)的平衡点的性质和奇异直线上平衡点的性质就可以得到系统(3)的轨线的全局分布情况当!∃-1/(2)时,方程(4)可以改写为p-1223H(!,y)=(1+2!)[y+(A0-2(p-1)A0!+C0!+D0!)/#]=h,(6)其中A
7、0、C0、D0前面已给出记2!1,2=(-3&%1)/(41),Y&=&%2/(3(p-1))/(2),(7)2其中%1=9+481(c-1),%2=62(1-c)+21-32当条件p>1,c>1-3/(161),1∃0成立时,%1∋0当1∃0,%1>0时,系统(5)在!轴上有3个平衡点O(0,0),A1,2(!1,2,0)当%1=0时,系统(5)在!轴上有两个平衡点O(0,0)和A*(!*,0),其中!*=-3/(41)当%2>0,即2c<1+(32-21)/(2)时,在直线!=-1/(2)上,有两个平衡点S&(!s,Y&)
8、显然,当1>0时,若0<1-3/(16
