一类浅水波方程的若干问题的研究

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1、中山大学博士学位论文一类浅水波方程的若干问题的研究姓名：张双虎申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：殷朝阳20100528摘要本文研究了一类浅水波方程Cauchy问题的局部适定性，强解的爆破机制和爆破，强解的整体存在性以及整体弱解的存在性和唯～性等相关的问题．这些相关的浅水波方程来源于现代力学和物理学．全文一共分为五章．在第一章，我们介绍了浅水波问题的研究背景，本文所要研究的问题的基本概念以及研究方法．并给出了本文的主要结论．在第二章，我们主要讨论周期情形Dullin-Goltwald-Holm(DGH)方程强解奇性发展的问题，给出了DGH方程

2、强解爆破现象的一个非常详细的描述．首先，利用最近建立的最佳的Sobolev不等式，给出了周期DGH方程强解爆破的几个新的结果．其次，我们证明了准确的爆破速率为．2以及对一大类奇的初值爆破集仅仅由中间点或者是两个端点构成．最后，我们证明了强解存在时间的下半连续性．在第三章，我们证明了DGH方程整体弱解的存在性和唯一性．当初值uo∈日1满足符号条件时，通过磨光初值，利用光滑初值整体强解的逼近获得整体弱解的存在性；通过建立先验估计，借助HeUy定理，获得方程中非局部非线性项的收敛性．利用方程的守恒律，我们能证明所得到的解关于时间是连续可微的．通过正则化技

3、巧．建立强解关于时间导数的估计，我们证明了整体弱解的唯一性．在第四章，我们系统研究了周期b族方程Cauchy问题的局部适定性，精确的爆破机制和爆破现象，强解的整体存在性以及整体弱解的存在性．运用Kato半群理论，我们证明了对任何的初值uo∈H。(s)，s>鲁，周期b族方程Cauchy问题的局部适定性；对于不同的实数b，本文系统研究了周期b族方程强解的爆破机制，本文的结论不仅包含了Camassa-Holm方程和Degaspefis．Pre,cesi方程的爆破机制，还提出了一个新的结果：当b<丢时，周期b族方程的强解在有限时间爆破当且仅当解的斜率在有限

4、时间内上方无界；借助于所建立的爆破机制，我们提出了几个新的爆破结果；当初值满足定号条件时，对任何的b∈R，我们证明了整体强解的存在性；进一步，当b满足特定的值时，方程对任何的初值Uo∈H8(s)，8>；都是整体适定的；最后，利用磨光初值方法，我们证明了周期b族方程整体弱解的存在性．第五章研究了弱耗散b族方程CauchyIh-J题的局部适定性，精确的爆破机制和强解的爆破以及整体存在性．借助于前几章建立的估计和方法。我们可以得到类似于第四章的方程的局部适定性，强解的爆破机制和强解的爆破．但是由于弱耗散项对方程的影响，这里得到的爆破结果要比b族方程的爆破

5、结果弱．同样，当初值满足不变号条件时，我们证明了强解的整体存在性．不同于b族方程的整体强解，弱耗散b族方程的整体强解当时间t_+00时，关于日1．范数和日3．范数衰减到0．中山大学博七学位论文关键词浅水波方程；局部适定性；爆破；强解的整体存在性；整体弱解的存在性和唯一性一Ⅱ一AbstractAbstractInthisthesis，Westudylocalwell-posedness，preciseblow-upscenarioandblow·upphenomena,globalexistenceofstrongsolutions，existenc

6、eanduniquenessofglobalweaksolutionstotheCauchyproblemofaclassofshallowwaterwaveequationsarisingfrommodemmechanicsandphysics．Thethesisisdividedintofivechapters．InChapterl，weintroducethebackgroundofshallowwaterwaveproblems，thebasicconceptsofproblemsdiscussedinthisthesisandresear

7、chmethodsweused．Thenwemakealistofmainconclusionsofthepaper．InChapter2，wemainlydiscussthedevelopmentofsingularityofstrongsolutionstotheDullin-Gottwald-Holm(DGH)equation．WegiveaverydetailedpresentationOiltheblow-upphenomenaofstrongsolutionstotheDGHequation．Wefirstpresentseveraln

8、ewblow-upresultsofstrongsolutionstotheDGHequationbyusingsoⅡ把1