Banach空间中凸集的相对内域在可逆有界仿射变换下的不变性.pdf

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1、16年第3期杭16年月州师范学院学报..o316JOURAOFHAGZHOUEACHERSCOLEGEay16LLanacBh空间中凸集的相对内域在可逆有界仿射变换下的不变性法竟(数学系)摘要Ban本文证明了ach空间中凸子集的相对内域在自身上可逆有界仿射变换下的不变.,性从而推广了有限维空间中类似的结果.,,关键词仿射变换相对内域有界可逆线性茸子,。3对于赋范线性空间的凸子集仅仅考虑它的内域是不够的例如R中的线段与三角,。,形它们都没有在通常意义下的内域然而直观告诉我们它们似乎都有着比较合乎自然“”,。3,意义的内域一般地将其称为相对内域象刚才提到的R中的三角形若将其嵌入它所,。在的平面并将

2、问题限制在该平面上那么这个三角形就存在着非空内域对实数域R上,的赋范性空间A的凸子集C有如下的,。riC={x任C。o(x。B)affCCC}riCCB定义记I}」>+门称为的相对内域这里..:xxy一x。为A中开单位球B一仕任A}1}l}

3、一。那么容易验证c作为2的凸子集它的内域是空E..本文于1995年4月30日收到an3:B第期陆竞c空a间中凸集的相对内域在可逆h有界仿射变换下的不变性。。。riC集但一C,,对于这种有别于普通概念的相对内域其性质显然是令人感兴趣的而它在某些变换。··,a:下的象也是很值得探讨的RTRockafel在lj[中指出nR自身上的可逆仿射变换,T即对空间中任意元素xy与任意久任R成立关系式T以x+(l一幻刃一几Tx+(1一—。。幻Ty的变换保持相对内域不变但那只是对有限维情形的讨论不过若对空间与变—,。ar换附加一些条件还是能将Rockafel的结果推广到无限维的情形的为了证明这个定理,先证明下面两

4、个引理。,·,引理l设T是实数域R上的赋范线性空间(X}I}})自身上的仿射变换那么必Ja有X自身上的线性变换I与任X使,。Tx二LxaxeX十对任意成立,J。。并且当T是有界算子时I也是有界算子反之亦然,,,X0a一TOLx~Tx一aLX上证明记的零元素为令同时置那么是的线性变,,,换事实上对任意的又任R与xyeX有aaL肠~T肠一一T(肠+(1一幻O)一一几Tx又)TO一几a一(l一又)a+(1一J一几(Tx一a)~肛xJ`(X+,,一L2X+,一ZLX+,((合音))(合合)`一2TX+,((告合)一)._/l~1~~2【令Txv一a+’令一T!一、2犷一/一2一(Tx一a)+(Ty一

5、a)一Lx+匀J,。所以I是线性的至于T与L同时有界是很明显的:,引理2实数域R上的线性空间A的自身上的仿射变换T满足对任意M仁A有.aaTffM=ffTM,,JJaaaaaaa证明注意到ffM的表示与引理l有TffM=IffM+一ffIM+=ff(IM+.aa)=ffTM.·,,BaT定理设(X1{1!)为实数域上anch空间为X上可逆有界仿射变换C为X..rr的凸子集则TiC一iTC.。,,。,,任TirCx任irC从一T获rE0x一证明取y)<则存在使由iC的定义存在>当}}....。J二。二任afC时二任C1X上Ia任X}}<必有另一方面由引理存在有界线性算子与....,’J’r一L二

6、十a丫二任XTI厂Bh图I一使工注意到是可逆的故存在据anac逆算子定理也...。J一’。占一日Il)y一y占且y任afTC时y是有界线性算子取(I]}}+则当!}!}<由引理2..、`ro’J之J`。J一·J任TaffC任affC使y=Txx一xl(I一I:)II故存在而I]l}=l}厂11镇I{川11..,一’J一’,J一’x一Ix。)一I厂Tx一Tx)一Iy一业Ia<。x任C}}}}}}}{1}}}}}}}}}<{1}}}所以·。,y一Tx任TCy任rC因之这说明iT这样就证明了.,’一’rTT:TirC仁iTC最后注意到刚证明的包含关系及也是仿射变换且是有界的(杭州师30范学院学报1年

7、``,一L一二一L一。我们有r一’rr一`riTC=TT(iTC)仁T(iTTC)一TiC.,rr综合之得TiC=iTC参考文献....oeearonvex,ssRTRakfllCAnalyi44....,,,:夏道行吴卓人严绍宗舒五昌实变函数与泛函分析下册人民教育出版社1980173RELATIVEINTORIORSAREPRESERVEDUNDERINVERTIBLEBOUNDEDAFFINE