仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用.pdf

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1、电大理工2007年3月DiandaLigong第1期总第230期仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用谭长明汝春雷鞍山师范学院（鞍山114007）摘要仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射变换，能使一些初等几何问题由繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。关键词仿射变换不变性不变量椭圆圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆1cosθ=[a(x'−a)−a(y'−a)]22131223r(aa−aa)比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有112212211关的定理

2、举不胜举，但椭圆则不然，因其本身sinθ=[a(y'−a)−a(x'−a)]11232113r(aa−aa)11221221的定义要比圆复杂，椭圆的性质和定理就很少，将以上二式平方相加得圆的象的方程为：解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆22有关的相应的问题困难得多。在初等几何中，(x1’-a13’)(a21+a22)-2(x’-a13)(y’-a23)(a11a21+22222有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的a12a22)+(y’-a23)(a11+a12)=r(a11a22-a21a12)方法来解决，这就给我们解题带来了不少麻烦。可以证明这是一个椭圆的方程，因此得知因此，

3、我们自然期望有一种方法，使得处理有圆的仿射对应图形是椭圆。关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而由于圆的仿射对应图形是椭圆，所以可以由仿射变换性质可知：椭圆通过适当的仿射变从圆的性质推导出椭圆的一些性质：已知三角换可变成圆。因此，只要考虑的有关椭圆的问形ABC的顶点与其内切圆的切点的连线共点，题纯属仿射性质的问题，就可以先转化为有关因为圆的仿射对应图形是椭圆，三角形的仿射圆相应的问题来解决，再把所得的结果推广到对应图形也是三角形，且仿射对应图形保持结椭圆中去，即可达到我们解题的目的。合性不变，所以圆的切线的仿射对应图形是椭为实现上述目的，我们还应该明确，为什圆的切线，因此图1的仿射对应

4、图形是图2。么椭圆通过适当的仿射变换可变成圆？解决有关椭圆的问题就可以简化为解决圆命题圆的仿射对应图形是椭圆的问题，主要应用如下：证明：设有以原点为中心，r为半径的一(1)求椭圆的面积个圆，它的参数方程为：x=rcosθy=rsinθ利用仿射变换求椭圆的面积见图1：⎧x'=a11x+a12y+a13则由仿射变换成：⎨⎩y'=a21x+a22y+a23L知此圆的象的参数方程为：⎧x'−a13=r(a11cosθ+a12sinθ)⎨⎩y'−a23=r(a21cosθ+a22sinθ)图1仿射变换求椭圆图得出cosθ，sinθ为：解：设在笛式直角坐标系下椭圆的方程为.70.电大理工总第230期

5、22xy35+=1对其进行仿射变换p2(,2−)2和中心的连线以及椭圆弧P1P2a2b222⎧x1所围成的面积Soppo。x'=0⎪⎪⎨aΔ=a≠0则椭圆的仿射对应图⎧4y1解：如图3仿射变换⎪⎪x'=x⎪y'=03⎪⎨4⎩bb⎪y'=y22⎪⎩5形为圆x+y=1由于仿射变换保持两个封闭凸曲线的面积22xy22把椭圆+=1变圆x’+y’=1622的比不变，且等于变换系数行列式的绝对值，ab即：S'1相应的点3535=Δ=（S’为圆的面积，S为椭圆的P1(2,2)，p2(,2−)2分Sab2222π1别变为p2('2,2)2，p2(',2−2)2在O’中，12面积）∴=，即：椭圆的面积S=

6、πab。sabP'P'=42，又因为：12(2)有关椭圆内接三角形和外切三角形的问题P'P'12例：在椭圆的内接三角形的顶点作切线构2222∴α=πsinα===R424成外切三角形，如果这两个三角形有两对对应圆O’中的扇形面积边平行，则第三对对应边也平行。12π证明：因为命题的条件和结论都是仿射性S=×2α×R=×16=4π而oppo24质的，故可证明命题对圆成立。（即：仿射变换SO'P1'P2'O'4416∴S=15S=5π保持结合性、直线的平行性）所以命题对椭圆=×=OP1P2O16O'P1'P2'O'4S3515OP1P20也成立。Y设△ABC是圆的内接三角形，以其顶点作Y圆的切

7、线所构成外切三角形为△A1B1C1，且PXP1'XAB//A1B1，BC//B1C1如图2。∵BC//B1C1∴∠∠1=3又∵AB//A1B1PP2∴∠2=∠4而∠3=∠4,∠2=∠5故AC//A1C1C1A图3椭圆仿射变换图B通过以上例题可以看出，我们不但能够求出圆的扇形面积，也能求出椭圆的扇形面积，A只要给出椭圆上的两点即可，这个结论在初等图2圆及外切三角形示意图几何中是没有的。综上，椭圆的有关仿射性质的问题可转化为圆的问题来解