利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题.doc

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1、利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题汤敬鹏（兰州市第五十七中学　730070）文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1　变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2　变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）；性质3　变换前后对应图形的面积比不变

2、；现以一些高考试题为例加以说明。例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点⑴若，求k的值；⑵求四边形AEBF面积的最大值。分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理求得D’点的坐标，再反求出D点坐标，从而很容易求出k值；利用性质3，可以求得四边形AE

3、BF与四边形A’E’B’F’的面积关系，由于四边形A’E’B’F’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF面积的最大值。解：依题设得椭圆的方程为作仿射变换，令x’=，y’=y，则得仿射坐标系x’O’y’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x’2+y’2=1，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，且E’F’为圆的直径，E’F’=2，A’(1,0)，B’(0,1)⑴根据性质1　∵　　∴　　∴E’D’=D’F’=∵E’D’·D’F’=A’D’·D’B’A’D’+D’B’=A’B’=∴A’D’=D’B’=或A’D’=D’B’=∴

4、或由定比分点公式可得：D’()或D’()∴D点坐标为()或()　　　　∴k=或k=⑵设四边形AEBF的面积为S，四边形A’E’B’F’的面积为S’，E’F’与A’B’的夹角为θ，则S’==≤（当θ=时取“=”号，此时F’()）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr2=π根据性质3有，故S=2S’∴S≤　当且仅当F坐标为()，即k=时取“=”号说明：由上述证明过程可知，当D’为A’B’中点是时四边形A’E’B’F’的面积取到最大值，根据性质1，当D为AB中点时四边形AEBF的面积取到最大值。此结论如果利用常规解法是较难获得的，但利用仿射变换却较易获得

5、。例2（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q⑴求k的取值范围；⑵设椭圆与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为是A、B，是否存常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆心到直线的距离与半径的关系来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式使计算量大大降低。而在第⑵问当中，若=，根据向量加法的几何意义则OM与PQ互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，OM变换

6、为O’M’，PQ变换为P’Q’，根据性质1，O’M’与P’Q’也互相平分，又由于O’M’过圆心，那么就可以利用圆中的垂径定理判断出O’M’与P’Q’垂直，这将有助于问题的简化。解：⑴作仿射变换，令x’=，y’=y，则得仿射坐标系x’O’y’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x’2+y’2=1，直线l：y=kx+变换为直线l’：y’=kx’+，即kx’-y’+=0根据性质2可知：直线l’与圆x’2+y’2=1的交点有两个∴＜1　　　　∴k2＞∴或⑵经过⑴中的仿射变换，点A、B分别变换为点A’(1,0)、B’(0.1)，点P、Q分别变换为点P’、Q’，根据性质

7、2可知P’、Q’必在圆上，且直线A’B’的斜率为k1=-1，直线P’Q’的斜率即直线l’的斜率为k根据性质2，若有与共线，则必有与共线设=，根据垂径定理，必有⊥当∥时，⊥，由此可得k==1，由⑴可知：或，所以没有符合题意的常数k.说明：此题的原解答较繁，特别是第⑵问的解答进行了一定量的向量坐标运算才得到的结论，但如本解答这样利用仿射变换，再结合圆中的垂径定理，则几乎没用代数运算就得到结论，运算量大幅度降低。例3（2006年浙江省高考理科第19题）椭圆(a>b>0)与过点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=⑴求椭圆的方程

8、；⑵设F1、F2分别为椭圆的焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM＝∠AF1