仿射变换观点下的中学椭圆问题.pdf

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1、案例剖析ANLIPOUXI73仿射变换观点下的中学椭圆问题仿射变换观点下的中学椭圆问题◎赵桂梅(长春市十一高中130062)2【摘要】仿射变换最重要的性质是保持点的共线性(或y=2．共面性)以及保持直线的平行性，本研究结合案例，利用仿1由kOM·kON=－得kO'M'·kO'N'=射变换的不变性和不变量解决高中数学问题，另辟蹊径，寻2求简便算法，有助于提高中学数学教师的数学理解．－1．→【关键词】仿射变换;高中数学;算法即O'M'⊥O'N'，且O'M'=→O'N'=槡2．仿射变换是指仿射平面(或空间)到自身的一类变换，得

2、O'→P'=槡5，P'的轨迹方程为最重要的性质是保持点的共线性(或共面性)以及保持直线x2+y2=10．的平行性．按照依变换群将几何学分类的观点，图形在仿射x2y2∴P的轨迹方程为+=1，变换群下的不变性质和不变的量叫做仿射性质和仿射不变2010量．研究图形仿射性质的几何分支就称为仿射几何学．例如F1，F2为其两焦点，得F1(－槡10，0)，F2(槡10，0)．同素性(点变成点，直线变成直线)、结合性(点在线上或直通过仿射变换将椭圆变为圆后，可以利用全等与相似线通过点)都是基本的仿射不变性，简比则是基本的仿射不三角形的判定，

3、另辟蹊径，寻求简便算法．变量．而且可推出，二直线的平行性、平行线段的比、封闭图案例2(2009年清华大学自主招生数学试题)形面积的比等，都是在仿射变换下不变的．又如关于二次曲22xy过椭圆+=1(a＞b＞0)的端点A(－a，0)作直线线的中心、直径及共轭径等，都是平面仿射几何的研究对22ab象，因为它们都是仿射性质．本文基于仿射变换，应用如下l交椭圆于Q，轴为R．过原点作l的平行线m交椭圆于P．结论和性质:证明:

4、AQ

5、，槡2

6、OP

7、，

8、AR

9、成等比数列．性质1椭圆经过仿射变换可以得到圆．分析本题要求证明三条相互平行的线段的比例

10、关性质2在仿射变换下，两条线段的平行关系保持不系，则考虑运用仿射变换，利用初中所学习的圆与三角形相变，平行线段的比值也保持不变，向量基本定理依然成立．似的知识解决．m0æb0ö性质3若取变换为(01)，则斜率为k的直线经过证明作放射变换a，曲线变换成x2+y2=b2．ç÷kè01ø变换后斜率为;向量a，b经此变换后为a'，b'，则有a·m圆与x'轴正半轴焦点为B'，连接O'Q'，B'R'．b=m2·a'·b'．显然△O'A'Q'与△R'A'B'均为等腰三角形，∠A为公共下面运用以上述性质解决高中数学问题:底角，A'Q'O'Q'案

11、例1(2011年重庆高考理科数学第20题)则△O'A'Q'∶△R'A'B'=．A'B'A'R'如图:椭圆的中心为原点又由A'B'=2O'P'，O'Q'=O'P'，O，离心率e=槡2，准线方程为x则2O'P'2=A'Q'·A'R'，22即得2

12、OP

13、=

14、AQ

15、·

16、AR

17、．=2槡2．∴

18、AQ

19、，槡2

20、OP

21、，

22、AR

23、成等比数列．(1)求椭圆的标准方程;→从上述可以看到，在初等几何的几何图形经仿射变换(2)设动点P满足:OP=→→后，一般来说，图像都有了变化，但有部分性质和某些量是OM+2ON，其中M，N是椭圆上的点．直

24、线OM与ON的斜保持不变的，同素性决定了变换的本质，结合性规定了变换率之积为－1，问是否存在两个定点F，F，使得PF+后的位置关系，而仿射单比不变确定了平行线段以及面积1212通过变换后的度量关系，这些仿射不变性和不变量在仿射2PF2的值为定值?若存在，求F1，F2的坐标．若不存在，几何的研究中是非常重要的，同时为初等几何的一些问题说明理由．的解决(比如求解和证明)提供了一种新的方法，有时使问22xy题的解决变得更直观和快捷．分析容易得到椭圆的标准方程为+=1．经过42仿射变换使OM与ON的斜率之积为－1，则两线段垂直．由【参考

25、文献】→→→→OP=OM+2ON，得OP为定值，即所求曲线方程［1］考克塞特，S．L．格雷策．几何学的新探索．北京:北在仿射变换下是圆．京大学出版社，1986．æ槡20ö［2］刘增贤，门树慧．高等几何学习导引．北京:科学技2解(2)作仿射变换çç2÷÷，曲线方程变换成C:x+术文献出版社，1987．è01ø［3］朱德祥．高等几何．北京:高等教育出版社，1983．数学学习与研究2013.17