strongart数学笔记：banach空间中的凸性与光滑性

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1、Banach空间中的凸性与光滑性最近研究了Banachspace中的凸性与光滑性理论，一不留神就认识了好几十个空间，本想把它们都排列出来，可不幸发现这件事已经有人干过了（参阅俞鑫泰的《Banach空间几何理论》），因此还是提一些简明的线索，分析一下其中的思想精神。先来看一下最常见的几类空间的蕴涵关系，它们由Hilbertspace（H）出发可以分成两条半路，一条通往圆凸空间（又称为严格凸空间），另一条通往光滑空间，而其中的半条路则是我们最熟悉的自反空间。下图中前缀U表示uniform，L表示local，w表示weak，F表示Frechet，G表示Gatea

2、ux.这些空间的基本性质可小结如下：序列刻画子商闭凸集性（假设元素球极空间对偶空间质/范数可在单位球面投影的遗空间微性上）传性仅子圆凸空‖x1+x2‖<唯一集单射空间Q(X)-间（R）1遗传光滑一致凸‖(xn+yn)/子商存在集满射(US)空间2‖→1蕴空间（UR）涵‖xn-yn‖均遗→0传闭子（James存在唯一空间自反空Theorem）集同胚与商间（Ref）existx：（Chebyshe(Ref)空间x*x=1vset）遗传单值exista仅子光滑空（范uniqueG可微空间间（S）-w*连Q(X)-x*:x*x=1遗传续）圆凸子商一致光一致(‖x+

3、ty‖+‖空间滑空间UF可微范范(UR)x-ty‖-2)/(2t)均遗（US）连续→0(u.n.)传在这些性质中，序列刻画是最可用的工具，可以推导出空间的其他性质与相互间的蕴涵关系。同时，几何直观能够使得理解更加深刻，而最能够“看见”的图形则是在二维欧式空间（平面）上，因此对平面的再赋范就成了构造反例的常用技术。光滑性与凸性主要在单位球面上定义，最基本的例子就是lp。先从l2开始，在平面上它的单位球面是单位圆，当p增大时逐渐外凸，直到p=∞时变成正方形。这是即出现平直线由出现角（支撑超平面不唯一），因此l∞既不是圆凸的，也不是光滑的。同样，当p变小时，单位

4、球面逐渐内凸，直到p=1时变成一个斜放的正方形，因此l1也不是圆凸与光滑的。利用一点不等式技术可以证明，lp（1

5、它们之间的联系，仔细分析后发现，X圆凸→X*光滑，但反过来需要的空间就得大一点，只有当X为自反时才能成立。为此有数学家借助X**中的元素确定X*中的唯一性，定义了X*为Q(X)-光滑（Q：X→X**为典型嵌入）的概念，显然X*为Q(X)-光滑→X*光滑，同时X圆凸←→X*为Q(X)-光滑。类似可定义X*为Q（X）圆凸，有X光滑←→X*为Q(X)-圆凸→X*圆凸。幸运的是，一致凸空间与一致光滑空间具有良好的对偶关系，并不需要额外的自反条件。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视

6、频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。