strongart数学笔记：光滑凸域与实解析凸域

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1、光滑凸域与实解析凸域在实或复空间内，对某区域D内的函数类F可以定义相应的F-凸集，包含某个集合X的最小F-凸集称为X的F-凸包。比如F是线性函数类时就得到通常的欧式凸集，F是多项式函数类时得到多项式凸集，F是全纯函数类时得到全纯凸集。光滑凸域似乎很少被提及，我猜想：实空间内任意区域都是光滑凸域。这从平面上来看是非常直观的，考虑支撑超曲面（实际上就是曲线）的情况，线性凸域的边界各点上必存在直线作为支撑超曲面，因此它是不能有洞与凹陷的。而对于光滑的情形，支撑超曲面就是光滑曲线，与代数曲线的刚性相对，

2、它实际上是非常“柔软”的。事实上，任意连续曲线都能在充分小的范围内变成光滑曲线，因此光滑曲线则能够灵活的通过各种间隙，这就使得任何平面区域都有光滑曲线作为支撑超平面。而对于高维的情形，我猜测结论也应该成立，只不过光滑超曲面的“柔软”性讲起来就没那么直观了。有人也许会问，高维复空间只有全纯域才是全纯凸的，既然全纯函数必光滑，难道光滑凸可能不是全纯凸吗？其实，光滑凸域是实线性凸，在全纯域中则是复线性凸，其中包含了一个复结构，因此光滑凸性并不一定就比全纯凸性要强。正如我们所知，光滑函数与全纯函数之间的

3、距离是相当大的，可其中还存在一种并不经常被提及的函数，那就是实解析函数。实解析函数可以视为全纯函数在实空间内的限制，它完美的保留了复分析中的相关定理，特别是等价于相应函数的幂级数展开式的收敛性。抽象一点来看，在闭区间上的连续函数空间中由{1,x,x^2,x^3,…}作为Schauder基生成的空间就是其中的实解析函数类。既然光滑凸域必为实解析凸域，那么我们同样有类似猜想：实空间内的任意区域都是实解析凸域。然而，这一猜想还可以从另一个角度进行说明，与之相关的是多复分析中全纯凸域与全纯域的等价性。我

4、们可以类比全纯域定义实解析域的概念，还可以模仿全纯凸域与全纯域等价性的证明，不出意外的话就能得到实解析域等价于实解析凸域。然而，由于实数域并不是代数封闭的，即使是实解析域也没有相应的Hartogs现象，也就是说任意区域都是实解析域。因而也就都是实解析凸域了。下面我来把几种常见的凸性整理列表，请自行注意其中实空间与复空间的差别：平面上的直观凸类相关函数理论备注解释欧式内部无洞，边界线性函数任两点间的线段封闭凸无坑多项复多项式内部无洞Runge定理，多项式发散式凸函数光滑光滑函数任意区域光滑曲线的“

5、柔软”性凸实解实解析函实解析域等价于实解析凸域，且无任意区域析凸数Hartogs现象全纯全纯函数全纯域Hartogs现象凸最后，我来谈一下自己的一个展望，复分析特别是多复分析中的理论似乎可以回过头来指导实分析，比如说可以类似定义实Stein流形的概念，然后推广相关的理论。而在这样的实化过程中，光滑性与实解析性是各有千秋，也许将来还能发展出一门称为实复分析的学科呢！本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然

6、而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。