凸性、光滑性及可微性-论文.pdf

《凸性、光滑性及可微性-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、2014年第2期闽江学院学报No．22014(总第142期)JOURNALOFMINJIANGUNIVERSIIYCener~SerialNo．142凸性、光滑性及可微性郭幼虹(福建师范大学数学与计算机科学学院，福建福州350007)摘要：讨论Banach空间的凸性、光滑性及可微性，得到若干引理，从而对已有若干结果给予新的证明．关键词：Banach空间；凸性；光滑性；范数可微性中图分类号：0177．2文献标识码：A文章编号：1009—7821(201t4)02—0017—09Convexity，smoo

2、thnessandnormdifferentiabilityGUOYou—hong(SchoolofMathematicsandComputerScience，FujianNormalUnivemity，Fuzhou，Fujian350007，China)Abstract：Inthispaper，wediscusstheconvexity，smoothnessandnormdifferentiabilityinBanachspaces．Weobtainsomelemmas，andthengivenewp

3、rooftosomeexistingresults．Keywords：Banachspaces；convexity；smoothness；nornldiferentiability．Banach空间单位球的凸性研究，最早是由JClarkson在1936年讨论的向量测度Radon—Nikodym定理时开始的．而后，人们又讨论了各种凸性，它们在最佳逼近及不动点理论有着重要的应用．光滑性，一方面作为凸性的对偶性质而提出；另一方面，它与范数一一作为一种特殊的凸函数的各种可微性有着密切的联系．本文通过凸性、光滑性

4、及可微性的性质，得到若干引理，从而对已有若干结果给予简便的证明．1预备知识定义1Banach空间称为强光滑的，如果对任何∈s(x)，当∈s(x)，(X)一1时，有某个f∈s(x)，使I1一川一0．定义2如果对每个∈s(x)，在s(x)中有的唯一支撑泛函，则称Banach空间是光滑空间．注1当∈s(x)满足定义1，2中所述性质时，则点分别为强光滑点，光滑点．定义3n∑：()一2‘’，对∈()，y()={∈s(x)，)=l}，称为支撑映像．其中2表示s(x)的一切子集构成的集．收稿日期：2013—12—21

5、作者简介：郭幼虹(1989一)，女，福建晋江人，福建师范大学数学与计算机科学学院硕士研究生．·17·闽江学院学报2014矩注2支撑映像∑的任一“截口”or．即or：Js()一s(x)，其中or(x)∈∑()，V∈S(X)，称为一个支撑函数．注3令or(Ax)=Ao'(x)，A≥0，∈S(X)则可得or(Y)=Y．定义4Banach空间称为Gateaux可微空间，如果的范数满足下列条件，对任何。Es(x)和Y∈s(x)，及>0，存在=6(，0，Y)>0，及数p(x。，Y)，使得当IAI<6时，有lIA一p

6、，。(Xo,Y)I『<．定义5Banach空间X称为Frechet空间，如果对任何∈5()，>0存在=(，0)>0，及实值函数p(‰，Y)，其中Y∈s(x)，使得当lAI<6时，有sup{IjL兰-_-p(xo,y)I；y∈．sc)<．定义6线性空间X上定义的函数)称为凸函数，如果对任，Y∈X，及0≤≤1，有Olaf+(1—0[))，)≤)+(1一)-厂(Y)．如果当0<0[<1时严格不等号成立，则称)为严格凸函数．定义7n线性空间X上定义的函数)称为二次齐次函数，若tx)=)，Vx∈X，tE．注4令f

7、o，g。是两个二次齐次凸函数，且对某个c>0，g0≤fo≤(1+c)go．令：趋妻鱼(算术平均数)．令)=口g0㈤暑inf(；∈1(下确界卷积平均函数)由文献[1]中性质5．3．14知，对每个11,，令+。：，：口则{}，{g}为两列二次齐次凸函数，且满足g≤g+1≤+1≤和g≤≤(1+2一c)g．由于0≤一g≤2～cg≤，故对每个∈X，lira，nx)=limg()．记这个极限为h(x)．定义8设：一是函数，其中E为线性空间X的凸子集，则称epi(f)={(，t)∈X×；￡≥I厂()}，为，的上方图形

8、．定义9若E为线性空间的凸子集，记Cony(E)={厂；，：E一是凸函数}．·18·第2期郭幼虹：凸性、光滑性及可微性2主要结论引理1若A>0，，Y∈X，or是任何支撑函数，则≤≤．证明==址业止≤±￡l121i!IJ【l±lJ二Ij【J：一jL兰±lI=【JIj—A一AIlIIAlIllI+AyI+Ay1>IAlJ+Ay≤戈+Ay。or(+Ay)>一I<，【+AyAI1+Ay≤注5若，Y∈S(X)，0