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1、通过全套毕业设计函数可微性的研究作者：指导教师：摘要本文针对多元函数可微性的充分条件和充要条件进行了研究•主要涉及一元函数与二元函数的可微性条件、定理及其证明以及可微性的一些应用•论述了一元函数的可微性与导数之间的关系；二元函数可微性定义、条件及其相关定理的证明，通过实例来列举说明可微性与偏导数以及连续三者的关系.说明了二元函数可微性判定的一些条件，进行分析，然后来推导岀二元函数可微的其它条件得到函数可微性的一些相关定理.关键词可微偏导数连续1引言在高等数学中，函数可微占冇重要的主导作用，与一元函数/（兀）一样，由一元函数/（兀）可微性引入二元函数/
2、（X,），）可微性.本文主要阐述了二元函数/（x,y）偏导数，从一元函数与二元函数的可微性到多元函数的可微性的推广•阐述了二元函数/（兀,刃偏导数，可微性与全微分的定义•再通过讨论二元函数/（兀,y）连续，存在偏导数与可微这三个分析性质Z间的关系，弄清函数z二/（x,y）可微的其他条件•在科学技术小，微分在两数应用方面经常遇到的一个问题，比如在函数/（x,y）近似求解问题上的应用•拉格朗LI、柯西、泰勒等人在微分中做出了重大的贡献•如今函数/（兀,刃可微性逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科，不仅成为具他许多数学分支的重要基础，而且在自然科学、工程
3、技术、牛命科学、社会科学、经济管理等众多方面中获得了I•分广泛的应用，成为处理冇关函数/（兀,刃可微性问题的强冇力的数学工具.本文主要给岀了二元函数/（x,y）可微性的条件，有利于学生对数学概念、理解和方法认识和理解的深化.2一元函数的可微性定义1设函数y=/（x）定义在点x（）的某领域内.当给x（）—个增量AxgU（x0）lit,相应地得-到函数的增量为兀0+AxAy=/（x0+Ar）-/（x0）如果存在常数力，使得能衣示成(1)(2)则称两数/在点X。可微，并称（1）式小的第-•项人心为/在点X。的微分，记作dyIx=x0=AAx或df(x)x
4、=xQ=A心由定义nJ见，函数的微分与增量仅差一个关于心的高阶无穷小量，由于dy是山的线性两数所以当力H0时，也就是说微分dy是增量的线性主部.容易看出，函数/在点心町导与对微是等价的.定理1窗数于在点无）可微的充要条件是断数/在点观可导，而且（1）式小的A等于广（％）•证【必要性】若/在点兀（）可微，III（1）式有—=A+o(l)△y取极限后有Ar广(兀0)=lim——=lim(A+o(l))=A•oAyxw・()这就证明了/在点仏可导n导数等于a・【充分性】若/在点可导，则兀°于在点兀。的有限增量公式Ay=/'(兀°)2+o(Ax)表明函数增量
5、Ay可表示为心的线性主部（广（兀））心）与心的屈阶的无穷小量之和,所以/在点X。可微，且有微分儿何解释如图1所示•当H/r（x0）变量由x（）增加到x0+Ax时，函数增最Ay=/(兀o+心)—/(x0)=QN,而微分则是在点P处的切线与心所对应的增量dy=广(心)2=QP、lim心一=竺*(兀°)lim—=0,ox。AvoMQ人foQp所以当广(兀o)HO时,lim—=0.KFQP这表明当兀时，线段PN比QP的长度耍小得多.若函数〉，=/(x)在区间上没一点都可微，则称/为/上的可微函数.函数y=f(x)在/上任意一点兀处的微分记作dy=,%g/,(
6、3)它不仅依赖于心，而且依赖于X.特别当『=兀时，dy二d兀二Ax,这表示自变量的微分心就等于自变量的增量.于是可将(3)式改写为dy=fx)/x,(4)即函数的微分等于函数的导数与自变址微分的积•比如d(xa)=axa~}dx；J(sinx)=cos^Jx;J(lnx)=—.如果把(4)式改写成那么函数的导数就等于函数微分与白变最微分的商.因此，导数也常称为微商•在这以前,我们总把冬作为一个运算记号的整体来看待，有了微分概念之后，也不妨把它看作一个分式.dx3一元函数可微与连续的关系一元函数的可微性与可导是等价的，函数的可导性是比可微性更强的性
7、质，可导必然连续,连续未必一定可导.定义2设函数/在某〃(勺)内有定义.若则称函数/在点兀()连续.3(1-cosx)x例1讨论两数fM=2丄Xx<0X=0在X=0的连续性和可导性.x>0解先讨论函数在点兀=0的可导性，由题H可知,/(兀)在点兀=0可导，且导数为0.卜而，只需要讨论/；(0),广(0)是否存在.昇(0)=lim/⑴"=limZ［心=lim三曲=0,xtO*Xx->0+对x->0+广(0)=lim”)一门°)=lim-3计"=limxx->oa->o_%3cosx-1八=0,2x因此，/；(0)=/：(0)=0,所以函数/(Q在点x
8、=0的可导，因而也一定连续.4二元函数的可微性定义3(可微性)设函数z=f(x,y)在点几(兀o，y())的
