数学与应用数学毕业论文-函数的连续性和可微性论文

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1、潍坊学院本科毕业论文目录引言11．一元函数的连续性和可微性11.1一元函数的连续性11.1.1定义11.1.2定理21.1.3间断点及其分类41.2一元函数的可微性81.2.1可微的定义81.2.2微分的运算法则91.2.3可导、可微以及连续之间的关系92.二元函数的连续性和可微性112.1二元函数的连续性112.1.1定义112.1.2定理112.2二元函数的可微性132.2.1二元函数可微性的定义132.2.2偏导数的定义132.2.3定理142.2.4微分的几何应用152.2.5偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性的关系.17结束语24

2、参考文献25致谢2626潍坊学院本科毕业论文引言连续性和可微性是函数的重要特性，从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标系上的图像是一条连续不断的曲线，下面就简单的介绍一元函数的连续性和可微性和二元函数的连续性和可微性.对一元函数，连续性和可微性是等价的，它是函数增量与自变量增量之间关系的另一种表达式，函数的微分是函数增量的线性主要部分，可微和可导是等价的，因而求一元函数的导数和微分的方法是相同的.一元函数的可导性是比连续性更强的性质，可导必连续，而连续未必可导.微积不但是数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域的基本数学工具，在社会、经济等领

3、域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的.函数的连续性、可导性与可微性是高等数学中最基本、最重要的概念，这三个概念是微积分的重要组成部分，本文在对比函数连续性、可导性与可微三个概念的基础上，深入讨论了三者之间的联系与区别，为学生深入理解和学习微积分学理清了思路.一元函数连续性、可导性与可微性的概念连续函数是高等数学中重点讨论的一类函数.连续性是函数的一个重要特性，它反映了许多自然现象的一种共同特征.而多元函数是一元函数的推广，它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说，连续性和可

4、微性是不等价的，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系，在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.1．一元函数的连续性和可微性1.1一元函数的连续性1.1.1

5、定义定义1设函数在某内有定义，若，则称在点连续．由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可以直接用方式来叙述，即：若对任给的，使得当时有，则称在点连续．26潍坊学院本科毕业论文若在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数．定义2设函数在某内有定义.若，则称在点右（左）连续.1.1.2定理定理1函数在连续的充要条件是：在点既是左连续，又是右连续.定理2（局部有界性）若函数在点连续，则在某内有界.定理3（局部保号性）若函数在点连续，且（或)，则对任何正数（或），存在某，使得对一切，有．例1.1“在连续”是在点处连续的（）条件（Ａ）必要非充分（Ｂ）充分

6、非必要（Ｃ）充要（Ｄ）既非充分又非必要解：在连续，在连续，在连续在连续，如，，，在连续，但在间断.故选（B）定理4（四则运算）若函数和在点连续，则，，（这里）也都在点连续.定理5若函数在点连续，在点连续，，则复合函数在点连续.26潍坊学院本科毕业论文证由于在点连续，对于任给的，存在，使得当时有（1.1）又由及在点连续，故对上述，存在，使得当时有.联系（1）得：对任给的，存在，当时有.这就证明了在点连续.例1.2设在处连续，在处间断，又，则（　）．（Ａ）处间断，（Ｂ）处间断，（Ｃ）处间断，（Ｄ）处间断．解：分析一连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故（

7、A），（B）不对.不连续函数的相乘可能连续，故（C）也不对，因此，选（D）.分析二在处连续，在处间断，又，处间断，若不然，在连续，与已知矛盾，选（D）.定理6（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在上有最大值和最小值.推论（有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在上有界.定理7（介值性定理）若函数在闭区间上连续，且，若为介于与之间的任何实数，则至少存在一点，使得．推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且与异号（即26潍坊学院本科毕业论文，则只是存在一点，使得，即方程在内至少有一个根.例1.3证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使得（称为的次正根（

8、即算术根），记作）．证先证存在性.由于当时有，故必存在正数，使得，因在上连续，并