【数学与应用数学专业】【毕业论文】函数一致连续性的定义与性质

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1、（　20　届）本科毕业论文函数一致连续性的定义与性质摘要：本文在学习和总结已有文献的基础上，总结给出了一元函数与二元函数一致连续性的几个定义及相关的等价定义，并给出了相关定义的证明，给出了一元函数与二元函数一致连续性的相关性质和证明.同时，结合具体的实际函数模型，将所获得的函数一致连续性的判定准则及其相关性质进行了应用，深化和推广了已有文献中的相应结论.关键词：函数；定义；性质；一致连续TheoryandApplicationofuniformcontinuityfunctionsAbstract:Basingontheexistingliterature,wesummarizesomed

2、efinitionsofuniformcontinuityfunctionswithonevariableandtwovariables,andprovetheequivalentthesedefinitions.Meanwhile,wesummarizethecorrespondingpropertiesofthesefunctions.Furthermore,wegivesomerealfunctionmodelstoillustratetheeffectivenessofthetheoreticconclusionsinthispaper.Keywords:function;defi

3、nition;property;uniformcontinuity目录1引言12函数一致连续性的概念23一元函数的一致连续性23.1一元函数一致连续性的判定23.1.1一元函数一致连续性的判定准则23.1.2一元函数一致连续性判定的充要条件73.1.3一元函数一致连续性判定的充分条件73.2一元函数一致连续性的性质84二元函数的一致连续性94.1二元函数在某个区域上一致连续性的条件94.1.1二元函数在某个区域上一致连续性的充分条件94.1.2二元函数在某个区域上一致连续性的充要条件104.2二元函数一致连续性定理的证明105函数一致连续性性质的一些应用126小结15致谢16参考文献171

4、引言函数的发展最早可以追溯到十七世纪，伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到十七世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的.1673年，莱布尼兹首次使用“function”表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系.然而这都只是几何观念下的函数.虽然十八

5、世纪函数进入另一个发展阶段，但也只是代数观念下的函数.到十九世纪，函数的概念发展为对应关系下的定义.经过四、五个世纪的发展，年现代意义上的函数定义为：“若对集合的任意元素，总有集合确定的元素与之对应，则称在集合上定义一个函数，记为.元素称为自变元，元素称为因变元.”随着数学与其他科学的日益发展，函数性质的应用也越来越广泛.连续与一致连续作为函数的重要性质，为许多学者所研究，特别是函数的一致连续性.中外学者对函数一致连续性的定义与性质的研究从未间断，并取得了喜人的成果.函数一致连续性判定的条件、定理、推论等理论成果建立在一元函数的框架里相对成熟，对于多元函数的讨论将是一个发展的趋势，特别是一

6、元函数的相关理论是否在二元函数中适用的研究将是当前研究的重要话题.弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator定理，内容篇幅少，但实际运用时，这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件，充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视，但比较实用且应用面广泛，有必要加以详细讨论.本文在已经学习的数学分析知识的基础上，总结探求函数一致连续性的新条件及性质,并发现它们的应用.主要解决以下四个问题：1.函数的一致连续性有哪些等价定义，主要集中给出一元函数与二元

7、函数一致连续的等价定义.2.有关一元函数一致连续性有哪些判定准则15，定义在某些集合上的一元函数一致连续性的判定准则，以及一元函数一致连续性的性质.3.讨论二元函数在某个区域上一致连续的条件，包含充分条件与充要条件，并给出二元函数一致连续性定理的相关证明.4.对所总结的函数一致连续性的相关理论，结合具体的函数模型加以应用，提高自己解决分析问题的能力.2函数一致连续性的概念众所周知，函数的一致连续性是连续函数最重要的性质之