函数一致连续性的定义与性质文献综述

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1、文献综述函数一致连续性的定义与性质　　一、前言部分函数一致连续是从函数连续的概念派生出来的，函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小.连续与一致连续是建立在函数极限概念的基础之上，用以刻划函数的变化情况和研究函数性质的两个基本的数学分析概念.通常人们说的连续是指不间断，其对立面就是间断.而数学上函数连续与间断的概念，也正是函数

2、在变化过程中渐变与突变的一种反映.因此从几何直观来看，连续函数的特点就在于它的图象是一条连续不斯的曲线；而从分析的角度来看，函数在一点处连续，包含着以下三层意思：（1）在处有定义，即是一个确定的常数；（2）在处有极限，即存在；（3）在处的函数值与极限值相等，即.如果以上任何一个条件被破坏，在点处就不连续了，这时叫做的间断点.这就是说：如果函数在点及其附近有定义，而且，就说在点处连续.其实函数在变化过程中，并没有仅仅在一点连续的情形，较常见的是函数在区间上连续的概念.定义1若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数（见文献[1][2][3]）.根据定义1可知，如果函数在区间上连续，则对于

3、事先任意给定的正数，就上的每一点来说，都可以分别找到相应的正数，使得对于上的点，只要，就有.其中的大小不仅与给定的有关,而且与点的位置有关.对于同一个，当在上变动时，一般来说的大小也将随着改变，即是依赖于的.如果的大小只与给定的有关，而与点在上的位置无关，也即是说，对于给定的正数，存在这样一个正数，它适用于区间上所有的点，那么这时就在上一致连续.定义2函数定义在区间上，如果对于事先任意给定的正数，总可以找到这样一个正数，对上任意两点，，只要，就有，那么就说函数在区间上一致连续（见文献[2][3][4]）.一致连续的特点在于，只要上的两点接近到同一个程度，就可以使这两点对应的函数值达到所需要的

4、接近程度.因此，它从整体上反映出在上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个重要性质.历史上关于函数一致连续性的研究从未间断，中外大多学者在一元函数一致连续性的判定方面都取得了喜人的理论成果，本篇文献综述将对前人在函数一致连续性定义、性质、判定理论方面的研究作总结性陈述.二、主题部分关于函数一致连续性的研究已经取得了较为丰富的结果，现将已有文献的理论成果综述如下：文献[5-6]研究函数一致连续的判别方法.其中文献[5]中，作者讨论了一致连续函数的判别及分布.作者指出，关于一致连续函数在平面上的分布，可归纳为以下情况：a、对于有限区间上的一致连续函数，由于有界性，所以它必包含在一个矩形之内，矩

5、形的边平行坐标轴；b、对于无限区间来说，凡有垂直渐近线的连续函数都不是一致连续函数，因此，它的“无限部分”应限制在个角形之内，而角形的边不与坐标轴垂直；对于无渐近线的有界或无界的连续函数，如果当趋于无穷大时，其切线斜率趋于有限数，则其必为一致连续函数，因此，它应限制在某个角形之内.总之，一致连续函数是分布在平面上的一个“槽形”区域之内，当趋于无穷大时，其切线斜率为有界的一类连续函数.文献[6]中，作者给出了用导数判别函数在一般区间上一致连续的方法.并举例说明不可以建立关于一致连续的比较判别法.文献[6]的主要结论可总结如下：定理1若函数在区间（可开、半开、有限或无限.下同）可导，且在有界.则

6、函数在一致连续.定理2若函数在区闻（或）可导.且（或），则在（或）非一致连续.定理3若函数与在区间可导，且，则（1）当在一致连续时，在一致连续；（2）当在非一致连续时，在非一致连续.上面这个定理指出可以根据两个导数间的关系判断函数的一致连续性，进一步的是否能直接利用两个函数（绝对值）的大小关系建立一致连续的“比较判别法”，作者举出了一个例子对这个问题予以否定回答.文献[7]讨论函数一致连续的条件，作者讨论了定义在区间和有界实数集上函数一致连续的充要条件，主要结论总结如下：定理4（Cantor定理)函数在区间一致连续当且仅当在区间连续.（充分性也可参考文献[8]）定理5在有界实数集上定义的函数

7、在上一致连续的充要条件是内任意的收敛数列其对应的函数值数列也是收敛的.定理6函数在区间上一致连续的充要条件是对任给的正数，及，，总存在正整数，使得当时，有.定理7函数在区间上一致连续的充要条件是区间上满足的任意两数列,总有.文献[9]中，作者给出了一元函数在区间上一致连续的一个等价条件，并运用它证明了一些函数的一致连续性.定理8设是区间上的函数，那么在区间上一致连续的充分必要条件是：存在及定义在上满足的函数，