函数的连续性与一致连续性

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1、乐山师范学院毕业论文（设计）函数的连续性与一致连续性舒雄伟数学与信息科学学院数学与应用数学专业07128011指导教师：汪天飞副教授【摘要】连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，一致连续函数又是从连续函数的概念派生出来的。在学习数学分析时,总容易把函数连续性与一致连续性混淆，仅能浅层次理解其概念不能深入学习。因此，本文为了解决类似问题，并受一致连续性定理和数学分析教材几个习题的启发，对此加以推导证明，解释了学习时经常出现的几个重要问题，归纳总结出连续函数与一致连续函数的几种判定方法，使得对连续函数与一致连续函数的内涵有了更全面的理解。【关键词】

2、连续一致连续判定方法0．引言连续函数对揭示自然界连续变化的现象有很重要的作用，如气温连续上升或下降，压力的连续减少，距离的连续增加等等，它们数学抽象都是连续函数。学习连续函数，可以通过局部估计函数值，对有界性，取极值，介值等的学习都有很大帮助。从连续性派生的一致连续性，更是函数性质从其局部到其整体上的拓展，使研究的函数性质更深入全面。1．研究的背景和意义在学习数学分析时，总是很难理解概念和公式的意义，常常只要求自己记住会用就行。学习函数的连续性和一致连续性时也有同样的情况，不理解为什么会用极限刻画连续性，函数的极限与连续性有何关系，以及函数的一致

3、连续性是如何由连续性派生，一致连续性定理在其它区间是否适用等问题，都成为我们学习连续函数和一致连续函数的障碍，本文解决了学习中几个常见重要问题，对函数连续性的掌握更深入全面，把函数连续性和一致连续性的关系作了深刻剖析，给出了连续性和一致连续性的几个判定方法，有助于本章相关内容的掌握。２．函数连续性与一致连续性的概念12乐山师范学院毕业论文（设计）从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线，一致连续函数的图像可以说是一条一致连续的曲线，不会产生陡然上升或者陡然下降的情况。当然我们不能满足这种直观的认识，下面我们给出连续函数

4、和一致连续函数的精确定义，从而方便研究两者之间的关系。定义1设函数在某内有定义。若，则称在点连续。2.1对于函数连续性定义借助于极限的解释“函数在点连续”，粗略地说就是，点的函数值与点附近的点的函数值连接着。我们知道，对于任意一个固定的充分靠近点的，只要，与就有一段距离（充分小的正数），在坐标平面上，与就是两个不同的点，从而点与就不能连接着。因此，在趋于的有限过程中，永远也不能使点与连接起来。为了使点与连接起来，必须在的无限过程中，使，即。只要这样才能实现数学意义上定点与动点的连接，即连续。2.2函数连续性与一致连续性的定义定义2（连续）设函数在

5、区间I上有定义，若，只要，，都有，则称在区间I上连续。定义3（一致连续）设函数在区间I上有定义，若,只要，，都有，则称在区间I上一致连续。2.3对比函数连续性和一致连续性一般来说,函数对于I上不同的点,相应的正数是不同的.连续函数的取值除依赖之外,还与点有关,由此写以表示与和12乐山师范学院毕业论文（设计）的依赖关系.如果能做到只与有关,而与无关,或者说存在适合I上所有点的公共,即,那么函数不仅在I上连续,而且是一致连续了.2.4函数连续性和一致连续性的整体与局部关系函数在I上一致连续的整体性质推出在I上每一点都连续的局部性质，在定义3中把看作定

6、点，把看作动点，即得到函数在连续，也就是说若函数在I上一致连续，则函数在I上必连续，反之不一定成立。如在上连续，但不一致连续。2.5函数一致连续性的实质当区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差，就绝对值来说，可以任意小，即，时，有例1按定义证明下列函数在其定义域内连续(1)(2)证:(1)对,因，则存在，使得，有，所以，对于，取，就有，即在上连续．（2）对,取，就有，即在上连续．　　　注：在（1）问中不能在区间找到一个最小正数的来共用，的取值会随着位置的变化而变化；而在（2）问中在区间共用一个正数，只依赖12乐山师范学院毕业论文（设计）于，条件

7、更强，在上满足一致连续．2.6函数一致连续性的否定定义定义4（非一致连续）设函数在区间I上有定义，若,存在，，都有，则称在区间I上非一致连续。例2讨论函数在上的一致连续性解：令，对于任意的，可取，使得从而有那么在上不一致连续。３．函数连续性的判定方法函数在点连续，有以下六种等价叙述，证明函数在一点连续或者判别函数在一点不连续，可根据函数结构和需要应用以下某个等价叙述。ⅰⅱ，只要，，都有ⅲ设，，有ivⅴ对任意数列，，，有ⅵ，有注：证明三角函数的连续性，反函数的连续性，复合函数的连续性都应用ⅱ；证明指数函数的连续性应用ⅲ；判断不连续点是哪类不连续点常

8、应用12乐山师范学院毕业论文（设计）ⅰ与iv。４．由一致连续性定理引申的判定方法从例1(1)可见,由在区间上每一点连续,并不能推出在区间