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1、§2.9函数的一致连续性定义2.21设是上的单变量函数.若,使得当,时总成立,则称是上的一致连续函数.显然,若是上的一致连续函数,则一定是上的连续函数(反之通常不正确).命题1(不一致连续的充要条件)上的单变量函数不一致连续和,使得,并且.证:“”.假定不是上的一致连续函数,则,,,满足和.这说明右边成立.“”.假定和,,使得,并且.这时,,使得.这说明不是上的一致连续函数.□命题2若是区间上的一致连续函数,是常数,则必存在使得当,时总成立.证:对于固定的,使得当,时总成立.再取使得.当时,.□命题3有限开区间
2、上的连续函数一致连续68存在有限单侧极限和.证:“”.若是上的一致连续函数,即,使得当时成立,则当,时有.根据函数单侧极限的Cauchy收敛原理,便知存在有限右极限.同理,存在有限左极限.“”.(反证法)假定存在有限单侧极限和,但连续函数不一致连续.由命题1,和,使得,并且.取的收敛一个子列,则(1)；(2)；(3)三者必居其一.这样,便有,得到矛盾.□例1设.(1)若是上的连续函数,则也是上的连续函数；(2)若是上的一致连续函数,则也是上的一致连续函数.(3)若都是上的一致连续函数,则也是上的一致连续函数.(
3、4)若都是一致连续函数,有意义,则也是一致连续函数.例2当常数时,幂函数是上的一致连续函数.证:,有不等式,68即.故,令,则当,时总成立.□例3(连续但不一致连续的函数)当常数时,幂函数不是上的一致连续函数(这说明两个一致连续函数的积可能不是一致连续函数).证:,有不等式.,令,则,.由命题1便知不是上的一致连续函数.□例4(连续但不一致连续的函数)不是上的一致连续函数.证:由命题3.□例5是上的一致连续函数,但却不是上的一致连续函数.证:,有不等式.故,令,则当,时总成立.这说明是上的一致连续函数.由命题2
4、或命题3知不是上的一致连续函数.□练习题2.9()1,2,3.问题2.9()2.68§2.10有限闭区间上连续函数的性质定理2.22(一致连续性)若是有限闭区间上的连续函数,则必在上一致连续.证:(利用有限闭区间的列紧性反证)假定连续函数不一致连续,即和,,使得,并且,.取的一个子列收敛于,则也收敛于,从而,得到矛盾.□定理2.23和2.24(最大值和最小值的可达性)若是有限闭区间上的连续函数,则必,使得,.作为推论,在上有界.证:(利用有限闭区间的列紧性)仅证最小值的可达性.令,由§1.9的命题2知,使得.取
5、一个子列收敛于,便有,即.□定理2.25和2.26(介值定理和零值定理)若是有限闭区间上的连续函数,,则介于之间的实数,必使得.作为推论,若,则必使得.证:(利用区间的连通性)记,,则,,.由的连通性,或者可取收敛于,此时；或者68可取收敛于,此时(该情形不会出现).因而,.□推论若是区间上的连续函数,则也是区间.证:(利用区间的连通性),要证.取满足,,并不妨设.,使得.这说明,从而.□例1任何实系数奇次多项式必有实根.证:设是实系数奇次多项式(首系数为1),则.故当充分大时,有,从而使得.□例2(,8)设,
6、.求证,使得.证:考虑上的函数.由于,故或者,或者,使得.由零值定理便知使得.□练习题2.10()2,4,5,7,9,10,11.问题2.10()2,4.68§2.11函数的上极限和下极限本节内容与数列的上极限和下极限的概念及相关结论完全一样.定义2.22设是上的单变量函数,是的极限点,那么.记和,分别称为当时的上极限和下极限；或称为在处的上极限和下极限.类似地,能定义当时的上极限和下极限.注记2.2上的单变量函数在的极限点处的上极限和下极限一定存在,其值与在处是否有定义无关,只与在的去心邻域上的定义有关.这里
7、,是固定的正数.注记2.2设是上的单变量函数,是的极限点.,记,,则在上递增,在上递减(注意和可能不是函数).故存在广义右极限和.这两个广义右极限就是当时的上极限和下极限.当时的情形类似.定理2.27设是上的单变量函数,是的极限点,.则是当时的上极限(或下极限)的充要条件是(1)；(2),使得当时成立(或).当时的情形类似.推论设条件如同定理2.27,则.定理2.28设是上的单变量函数,是的极限点,则有68(1)；(2)；(3)当时成立.当时的情形类似.补充定义设是上的单变量函数,是的极限点.若,则称在处上半连
8、续；若,则称在处下半连续.命题设是上的单变量函数,是的极限点.那么在处连续在处既上半连续又下半连续.例(,问题3)设是上有界的连续函数,求证,,满足.证:记,,则.(1)当或时,结论显然成立.(2)当时,,,,使得,.利用零值定理,可取使得.显然满足要求.(3)或这两种情形不会出现.(反证法)假定成立,则,使得当时成立.故当时成立.这与有界相矛盾.同理,能证不成立.□68练习题2.11
