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1、（ 20 届）本科毕业论文概周期函数的定义及其性质摘要:本文利用大学本科所学的数学分析与泛函分析知识，首先给出了周期函数与概周期函数的一些定义，其次给出了概周期函数定义的等价证明，总结了概周期函数的性质，并给出了这些性质的详细证明.然后，利用上述给出的理论结果，获得了一些证明函数是概周期函数的方法，从而完善了已有文献的相应结果.关键词:概周期型函数；连续性；相对稠密.ThedefinitionsandnatureofalmostperiodicfunctionAbstract:Inthispaper,usingtheuniversityknowle
2、dgeofmathematicalanalysisandfunctionalanalysis,wepresentsomeofthedefinitionsofperiodicfunctionandalmostperiodicfunctions;wealsogivetheproofoftheequivalentsofdefinitionsforalmostperiodicfunctions,andsummarizethenatureofthesefunctions.Then,weestablishsomemethodtoprovethealmostpe
3、riodicityforsomefunctions.Finally,someexamplesandsomeremarksaregiventoillustratetheeffectivenessoftheresultsobtainedinthispaper.Keywords:almostperiodicfunction;continuity;relativelydense.目录1绪论11.1课题来源及研究的目的和意义11.2国内外在该方向的研究现状及分析21.3本文的主要工作及结构22概周期函数及其定义的等价性42.1概周期函数的定义42.2概周期函
4、数定义的等价性63概周期函数的性质104概周期函数的一些应用125总结16致谢17参考文献181绪论1.1课题来源及研究的目的和意义概周期函数是在20世纪20年代由丹麦数学家H.Bohr首先提出的,它是为了解决周期函数对加法运算不封闭而创造的一类新函数.三角多项式不一定是周期函数,所以周期函数关于加法运算不能构成线性空间,为了克服这一困难且使新函数具有类似于周期函数的性质,因此构造了概周期函数,从而形成概周期函数理论.概周期函数是连续函数集合内三角多项式的完备化,因此概周期函数空间是Banach空间；又因为三角多项式在乘法和共轭运算下是封闭的,从而
5、概周期函数在乘法和共轭运算下也是封闭的,因此概周期函数是连续函数集合内包含常数函数的代数.关于概周期函数,我们可以从两个不同角度去看待:一方面,概周期函数是一类具有独特结构性质的连续函数,是周期函数的推广；另一方面,概周期函数可以看成是一致收敛的三角多项式序列的极限.从而,概周期函数理论的建立,为我们开辟了一个道路,使我们能够研究一类更广泛的三角级数,甚至指数级数.即使在现实生活中,概周期函数也是比周期函数更容易见到的一类函数.例如,天体力学,机械振动,生态学系统,经济领域以及工程技术中出现振荡现象的许许多多的实际问题往往都可以转化为求解常微分方程
6、、泛函微分方程、差分方程以及偏微分方程等数学模型的周期解,其中有些问题（诸如天体运转,生态环境,以及市场供需规律等）考查概周期解比考查周期解更具有现实意义.在概周期函数的基础上,通过增加扰动项得到了渐进概周期函数、弱概周期函数和伪概周期函数.同时,若将概周期型函数的函数值从复数值推广到向量值,则得到向量值概周期型函数.微分方程是从实际问题中抽象出来的数学模型,它描述了系统变化率与其状态之间的关系,研究方程解的性态是微分方程理论中一个重要而又基本的问题,系统解的稳定性分析是这个理论体系很重要的方面,由于概周期函数是周期函数的一个推广,是具有某种近似周
7、期性的有界连续函数,使得概周期微分方程的解的稳定性分析也受到了越来越多的学者的关注,它在常微分方程、稳定性理论和动力系统中有着重要的应用.见文献.文献对概周期型函数理论及遍历性做了全面而深刻的研究.文献研究了线性衰退记忆系统的建模,得出渐进周期序列空间和渐进概周期函数空间是可分的,将概周期函数理论应用到系统识别方面.171.2国内外在该方向的研究现状及分析自从H.Bohr在20世纪20年代提出了概周期的理论以来,经过几代数学家的努力,概周期理论越来越完善,其中包括群上的调和分析理论以及1933年由A.S.Besicovitch所建立的Banach空
8、间上的向量值概周期函数理论.1974年A.M.Fink的专著对概周期微分方程理论做了概括性总结.将概周期函数推广到更加广泛
