【数学与应用数学专业】【毕业论文】凸集的性质及其应用

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1、（20__届）本科毕业论文凸集的性质及其应用摘要：本文首先介绍了凸集理论的研究背景和意义，然后给出了一般线性空间下凸集的定义及几个定义等价性的充要条件，探讨了凸集的Minkowski泛函的性质和一些几何性质，并给出了这些性质的详细证明，同时利用凸集的性质和相关理论证明了常微分方程初值问题解的存在性定理．除此之外，我们还结合一些实际问题的数学模型，探讨了凸集理论在数学规划问题上的应用．关键词：凸集；泛函分析；线性空间；常微分方程ThePropertiesandApplicationsofConvexSetsAbstract:Inthispaper

2、,weintroducetheresearchrackgroundandmeaningofconvexsettheory．Meanwhile,wesummarizetheequivalentrelationsofseveraldefinitionsforconvexsetsinthelinearspace,anddiscussestheirminkowskifunctionalandgeometricproperties,aswellasthedetailproofoftheseproperties.Furthermore,byusingthe

3、propertiesofconvexsetandcorrelationtheory,weprooftheexistencetheoremofsolutionsofinitialvalueprobleminordinarydifferentialequations.Besides,bycombiningsomemathematicalmodelofpracticalproblem,wedisscusstheapplicationsofconvexsettheoryinmathematicalprogrammingproblem．Keywords:

4、convexset；functionalanalysis；linearspace；ordinarydifferentialequation目录1绪论11．1凸集的背景11．2凸集的意义22凸集的定义42．1凸集的一般定义42．2　凸集定义的几个等价性充要条件53凸集的性质73．1一般线性空间下Minkowski泛函的性质73．2线性赋范空间下的结论83．3凸集的一些几何性质104凸集理论的相关应用124．1Brouwer与Schauder不动点定理124．2利用不动点定理证明常微分方程初值问题解的存在性定理144．3凸集在平面几何中的应用15结

5、束语17致谢18参考文献191绪论　　1．1凸集的背景凸集的产生与分析学有着密切的联系.分析学包括微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等数学分支，这些学科的总称也常常叫做数学分析，有时被用作是微积分的同义语.可以说，17世纪到19世纪上半叶的数学史，几乎就是数学分析的历史.17世纪由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具，此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引，开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不

6、能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了.作为对一门新的数学分支的探索，伯努利家族的贡献尤为突出.在1691年到1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所成形状的问题.在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方程的变量分离法，还提出了著名的伯努利方程.到了18世纪，欧拉在前人的基础上做了大量的工作，从而使微分方程形成自身独特的理论体系.之后法国数学家达朗贝尔将其方法加以整理，给出了求非其次线性微分方程的通解的一般方法；另一位

7、法国数学家拉格朗日则又得出了通过变易常数求变系数常微分方程特解的方法，这些方法都是现今求微分方程的有效方法.18世纪后期不断出现的特殊的微分方程的求解问题，使数学家逐渐招架不住了，于是转向对解的存在性问题的思考，即给定一个微分方程，它在给定的初始条件和边界条件下是否有解？在这个过程中，许多著名的数学家、力学家开展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施图姆、刘维尔等人.特别是法国数学家庞加莱使微分方程与函数论建立了密切的联系，从而产生了微分方程的解析理论.虽然18世纪数学分析的发展已经达到空前灿烂的程度，然而数学家们在运用微积分方法的过程中

8、并没能使无穷小这一概念的本质得到澄清，这就导致了微积分学理论缺乏严密的理论基础.进入19世纪，捷克数学家波尔查诺、法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉