凸集的性质及其应用开题报告

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1、开题报告凸集的性质及其应用　　　　一、选题的背景、意义凸集理论从本世纪三十年代以来日益受到人们的重视，二十世纪六十年代中期，由于数学规划、对策论、数理经济学、变分学、最优控制理论等多方面的需要，诞生了一门新的数学分支——凸分析.凸分析的基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理.凸集是一个十分重要的概念，在泛函分析、概率论、统计决策论和信息论中有广泛的应用[1].20世纪60年代以后发展迅速，凸集的概念通过不同的途径被推广，提出了吸收凸集、对称凸集、严格凸集、一致凸集、强凸集等概念.虽然在实际中我们常常遇到非凸集，但此时可以引进伪凸、拟凸等广义凸集的概念，并说明它们可保留凸集的

2、某些主要性质，从而使其他领域中用这些凸集性质得到的结果，可拓广到广义凸集上来[2]凸集在近代数学中占有极重要的地位，本文主要讨论的是一般线性空间中的凸集.本文给出了凸集的几个等价命题和他们之间的推导，及凸集的有关性质和它在分析中的一些相关应用.凸集的产生与分析学有着密切的联系，而数学分析理论的建立，极大地推动了数学的发展.利用凸集的定义及其基本性质，能使一些过去较为复杂的平面几何问题转化为比较容易简单的问题，从而得到巧妙简捷的解决．一门科学的创立决不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的．凸集理论也是这样．直到二十世纪六十

3、年代中期，由于数学规划、对策论、数理经济学、变分学、最优控制理论等多方面的需要，诞生了一门新的数学分支——凸分析.这一分支由于基本内容相当初等，而应用又十分广泛，因此许多结果很快就成为广大数学工作者手中的有力工具.凸分析的基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理.在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集．凸集有许多等价的定义和性质，这些定义和性质在分析学中有着广泛的应用．不仅如此，在很多的科学领域中，凸集理论也能得到很好的应用.按照传统的、经典的说法，数学是研究“现实世界的数量关系和空间形式”的科学，或者简略地说，是研究数和形的科学[3].然而到了现代数学分析的时代，

4、已经很难区分哪些属于数的范畴，哪些属于形的范畴.凸集与凸函数有着很好的性质，我们考虑微分方程时，考虑的集值映射其像集一般情况下是紧凸集，因此弄清楚凸集的一些性质对我们分析问题很重要[4].通过借助可分空间的共轭空间中有界闭球的弱星序列紧性，可以证明在无穷维数列空间中有限个闭球之并的凸包仍为闭集[5].凸集的不同等价定义用起来各有方便之处，使一些较复杂的问题迎刃而解．在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集，例如在数学分析、泛函分析、最优化理论等当中．下面对研究凸集的性质及其应用需要提及的内容详见文献[6-9].二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文主要是对泛函分析中一类特殊的

5、集合——凸集的研究，包括凸集的定义、性质和在各个领域的应用．具体的研究的基本内容与拟解决的主要问题如下：问题（1）是线性空间到线性空间的线性算子，且为单射，则是中凸集的充分必要条件是什么？问题（2）是线性空间一含有的凸集的充分必要条件又是什么？本文同时提及各种定义之间的相互推导，凸集的各种性质和利用性质在不同领域的应用，突显凸集的特殊地位和意义．问题（3）探求凸集一些常用性质的证明，具体探讨下列性质的证明性质1设是线性空间，是上含有的凸子集，若为的Minkowski泛函，则具有下列性质：（1），；（2）（，）（正齐次性）（3）（）（次可加性）性质2设是一个空间，是一个含有点的闭凸集.如

6、果是的Minkowski泛函，那么下半连续，且有.此外，如果还是有界的，那么适合.又若以为一内点，那么是吸收的，并且还是一致连续的.性质3若是中的一个紧凸子集，则必存在正整数，使得同胚于中的单位球.问题（4）我们就来利用上述凸集的性质及相关理论来寻求证明常微分方程初值问题的解的存在性定理．三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标利用凸集的性质来解决分析中的一些问题，如根据Arzela-Ascoli定理和Schsuder不动点定理可以得到常微分方程初值问题的存在性定理.对于凸集相关的平面几何问题，要求的知识点不多但灵活性强[10]，需要我们熟练掌握、灵活运用凸集的定义及其基本性

7、质.另外，利用凸集分离定理可以得出新的一类凸规划问题的等价条件，给出这一类问题的新方法，也是凸集的一个重要的应用领域.除此之外，还可以将凸集的性质应用在数学规划上，以及相对应的一些实际问题上，帮助人们利用数学模型解决生活中一些复杂的问题．虽然在实际中我们常常遇到非凸集，但此时可以引进伪凸、拟凸等广义凸集的概念，并说明它们可保留凸集的某些主要性质，从而使其他领域中用这些凸集性质得到的结果，可拓广到广义凸集上来.四、论文详细工作进度和安排第七学期第