凸集的性质及其应用　　　 　文献综述

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1、文献综述凸集的性质及其应用　　　　一、前言部分凸性理论是数学的一个分支，随着数学规划，对策论，数理经济学和最优控制理论等学科发展的需要，特别是在优化领域中发现了凸集的许多应用之后，凸集理论日益受到人们的重视[1].而凸集的产生与分析学有着密切的联系.分析学包括微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等数学分支，这些学科的总称也常常叫做数学分析，有时被用作是微积分的同义语.可以说，17世纪到19世纪上半叶的数学史，几乎就是数学分析的历史.17世纪由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具，此后的大部分数学家的注意力，都

2、被这有着无限发展前途的学科所吸引，开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了.作为对一门新的数学分支的探索，伯努利家族的贡献尤为突出.在1691年到1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所成形状的问题。在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方程的变量分离法，还提出了著名的伯努利方程.到了18世纪，欧拉在前人的基础上做了大量的

3、工作，从而使微分方程形成自身独特的理论体系.之后法国数学家达朗贝尔将其方法加以整理，给出了求非其次线性微分方程的通解的一般方法；另一位法国数学家拉格朗日则又得出了通过变易常数求变系数常微分方程特解的方法，这些方法都是现今求微分方程的有效方法.18世纪后期不断出现的特殊的微分方程的求解问题，使数学家逐渐招架不住了，于是转向对解的存在性问题的思考，即给定一个微分方程，它在给定的初始条件和边界条件下是否有解？在这个过程中，许多著名的数学家、力学家开展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施图姆、刘维尔等人.特别是法国数学家庞加莱使微分方程与函数论建立了密切的联

4、系，从而产生了微分方程的解析理论.虽然18世纪数学分析的发展已经达到空前灿烂的程度，然而数学家们在运用微积分方法的过程中并没能使无穷小这一概念的本质得到澄清，这就导致了微积分学理论缺乏严密的理论基础.进入19世纪，捷克数学家波尔查诺、法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人为完善分析学的基础理论做出了卓越的贡献.直到二十世纪六十年代中期，由于数学规划、对策论、数理经济学、变分学、最优控制理论等多方面的需要，诞生了一门新的数学分支——凸分析.这一分支由于基本内容相当初等，而应用又十分广泛，因此许多结果很快就成为广大数学工作者手中的有力工具.凸分析的基本研究对

5、象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理.在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集．凸集有许多等价的定义和性质，这些定义和性质在分析学中有着广泛的应用．不仅如此，在很多的科学领域中，凸集理论也能得到很好的应用.20世纪60年代以后凸集的概念通过不同的途径被推广，提出了吸收凸集、对称凸集、严格凸集、一致凸集、强凸集等概念.1961年，L.Santaló研究了平面凸集的完备不等式系统，并根据W.Blaschke的方法提出了一个从紧凸集类到单位正方形的映射，的值域为的紧子集，并将它称为Santaló图[2].一般线性空间中的凸集概念是从平面凸集的特征性质中

6、抽象出来的，而这个性质并不要求空间具有拓扑结构，所以这个概念可以扩充到一般的线性空间[3].本文主要讨论的就是一般线性空间中的凸集.凸集在近代数学中占有极重要的地位，本文给出了凸集的几个等价命题和他们之间的推导，及凸集的有关性质和它在分析中的一些应用.定义[3][4]【5】：设是线性空间，，称为一凸集，如果（）.提到凸集的等价定义、性质和应用，不得不提的是它的几何意义：如果对于点击中任意两点，，线段上的没一点都属于，那么就称为凸集.显然，线段、直线、元、半平面、球和四面体等都是凸集.对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的.在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（

7、包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形.在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集，例如在泛函分析、概率论、统计决策论和信息论等当中．本文试就凸集的等价定义、性质和应用等问题作初步的探讨.二、主题部分关于凸集的性质及其应用，许多学者进行了较为深入的研究，并已取得大量的较为丰富的结果，现将已有文献的研究结果综述如下：文献[1]研究了凸集的一些基本性质.给出了集合的边界点的支持方向的新概念.利用支持方向证明了凸集的一些特征性质，获得了凸集分离定理及其它一些特征性质的新方法和途径.文献[2]通过在给定平面凸集的外径和内径的条件下，凸集

8、的面积和周长的下界的一组不等式，并且证明了当凸集为双