函数的凸性及应用文献综述

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1、文献综述函数的凸性及应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义，最早是由Jersen给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同，在大学的数学分析或高等数学教材中，常常只研究具有二阶导数的凸函数。本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸，进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用，本文拟将主要介绍以下的几点：凸函数在证明Jensen不等式时的应

2、用；凸函数在Hadamard不等式中的证明的应用；凸函数在分析不等式中的应用等。二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）凸函数具有一些非常优良的性质[1]，有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内

3、容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。2.1凸函数的定义2.1.1凸函数一些基本定义通过数学分析的学习，对于函数和的图像，我们很容易看出它们之间的不同点：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的曲线称为凸的，后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。9数学分析[2]给出了凸函数的基本定义：设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，和任意实数总有,则称为上的凸函数。葛丽萍[3]介绍了以下的结论：若区间上的任意三点，总存在，

4、这个条件是为上的凸函数的充要条件，该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理，通过推广，可以得出另一个更进一步的充要条件：在区间上的任意三点，有成立，则为上的凸函数。并且若为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件为。2.1.2严格凸函数的定义江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。定义：凸函数的定义为函数满足以下不等式，其中为区间上的函数，，为上的任意两点和。当上面的不等式变为时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。判定方法：1、设为区间上可导函数，在上严格递增，则在区间上是严格凸函数。反之，不成立；2、设为区间上二阶可导函

5、数,在上.则在区间上是严格凸函数。2.1.3凸函数的等价描述林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述，由此得出：若在上有定义，则以下3个命题等价：在上为凸函数；，，有；，且不全为零，有9。其中命题就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如下定义：设在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当有。葛丽萍[3]介绍了函数在区间上可导的等价条件：若为区间上的可导函数，可得出以下等价条件。（1）为上的凸；（2）为上的增函数；（3）对上的任意两点，，有。2.2凸函数的一些性质2.2.1凸函数的连续性凸函数是数学分析中的一类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项

6、基本而又重要的特征。由于Jensen定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设，Jensen意义下凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数，从凸函数的定义出发，研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题：当连续函数满足何种条件时，是区间上的凸函数；当凸函数满足何种条件时，是区间上的连续函数；连续凸函数在区间上具有何种性质？例如函数，我们容易证明在上是凸函数，但在上不连续。存在函数，可以得出函数在上是连续的，但是函数在上不是凸函数。上面这个例题说明凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数。宋方[6]提出，如果连续函数为凸函数，必定满足以

7、下定义：对任意的及，恒有：。例：证明连续函数是一个凸函数。分析：因为，只要存在就能说明函数是一个凸函数。显然能够找到满足条件的9性质[7]：若在区间上连续，且满足或其中，则是上的凸函数。2.2.2凸函数的微积分性质刘鸿基，张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数，有着较好的分析性质，而关于凸函数，一般教材大都从几何意义方面引出定义，描述为：凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦，总是位于曲线弧段的下方；或者，当曲线各点处存在切线时，凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。前者往往作为定义使用，后者是凸函数的充分必要条件，也可以作为定义作用。刘鸿基，张志宏[8