【信息与计算科学】【毕业论文】函数的凸性及应用

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1、（　20　届）本科毕业论文（设计）函数的凸性及应用摘要：凸函数是一类非常重要的函数，运用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也可以用来证明一些不等式，同时，凸函数的研究结果也在许多领域得到了广泛的应用。本文首先介绍了凸函数的定义；接着介绍了凸函数的几个定理；然后介绍了凸函数的性质；最后进一步介绍了凸函数的应用。本文主要集中考虑了凸函数在下面几方面中的应用：凸函数在证明Hadamard不等式中的应用，凸函数在证明Jensen不等式中的应用，凸函数在一些分析不等式中的应用等。关键词：凸函数；连续；等价描述；不等式ConvexFunctionandItsApplicationAb

2、stract：Convexfunctionisakindofveryimportantfunctions，whenconsideringtheconvexityoffunction,itcannotonlydescribetheimageoffunctionmuchmorescientificallyandaccurately,butalsocanbemadeuseoftoproveinequalities.Atpresentconvexfunctionhasawidelyapplicationinmanyareas.Inthispaper,wefirstlyintroducethedef

3、initionofconvexfunction,andtakeanoverviewofthepropertyofConvexfunction,basedonpropertiesofconvexfunction,wethenfurtherproposetheapplicationofconvexfunctionwhichmainlyfocusoninequalityproof.Finally,theproofofHadamardinequality,Jenseninequalityandsomeotheranalysisinequalitiesarediscussed.Keywords:Co

4、nvexfunction;Continuous;Equivalentdescription;Inequality目录1绪论11.1问题的背景及研究意义12凸函数的定义及性质32.1凸函数的定义32.2相关的几个定理32.3凸函数的性质73凸函数的应用133.1凸函数在证明初等不等式中的应用133.2凸函数在证明函数不等式中的应用143.3凸函数在证明积分不等式中的应用143.4凸函数在证明Jensen不等式中的应用153.5凸函数在证明Hadamard不等式中的应用164结论18致谢19参考文献201绪论1.1问题的背景及研究意义在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于

5、利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。重要的数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说贯穿古今。凸函数是一类性质特殊的函数，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用，本文将对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论。1718年，瑞士数学家约翰·贝努里通过结合以前科学家的成果才在莱布尼兹函数概念的基础上对函数进行了明确的定义。18世纪中叶欧拉给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更

6、具有广泛意义。1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义。1837年狄利克雷拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个或多个确定的值，那么叫做的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。在函数概念的定义经过近二百年的锤炼、变革后，19

7、05年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义，开创了凸函数研究的先河，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，其中，凸函数的判据研究已接近完善，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学支，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出，人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛的深入研究，使得凸函数的性质也得到了较好的发展。在凸规划理论、尤其是非线性最优