函数的凸性及应用开题报告

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1、开题报告函数的凸性及应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义，开创了凸函数研究的先河，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，其中，凸函数的判据研究已接近完善，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学支，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出，人们对凸

2、分析的自身理论发展也进行了广泛的深入研究，使得凸函数的性质也得到了较好的发展。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年来，研究函数各种凸性的文献越来越多。凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。同样凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义。函数凸性的应用显著地体现在

3、求最值、不等式的证明上。不等式的证明方法很多，技巧性强，函数凸性是函数在区间上变化的整体形态，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的构造凸函数，可以简单轻快得证明不等式。凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。在不等式的研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的。与凸函数有关的不等式是基础数学理论的重要工具，尤其在不等式的证明中发挥的作用是无可替代的，其中Jensen不等式与Hadamard不等式更是起到了重要的作用。Jensen不等式通常用来证明有限不等式，它是将无穷项

4、求和与积分联系起来的重要桥梁。利用Hadamard不等式可以对两个正数的几何平均数与算数平均数加细。凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题5本文首先对凸函数定义进行介绍，凸函数的等价性质进行了概述；接下来介绍了凸函数的基本性质，然后由此延伸，进一步提出凸函数的应用，主要集中在下面几方面的应用：

5、凸函数在Hadamard不等式证明中的应用，凸函数在证明Jensen不等式时的应用，凸函数在分析不等式中的应用等方面进行了讨论。2.1凸函数的定义2.1.1凸函数一些基本定义通过数学分析[2]的学习，对于函数和的图像，我们很容易得出它们之间的不同点：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的曲线称为凸的，后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。葛丽萍[3]给出了凸函数的基本定义[3]：设为定义在区间上的函数，若

6、对上的任意两点，和任意实数总有,则称为上的凸函数。2.1.2严格凸函数的定义江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。定义：凸函数的定义为函数满足以下不等式，为区间上的函数，，为上的任意两点和任意实数。当上面的不等式变为时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。2.1.3凸函数的等价描述林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述，由此得出：若在上有定义，则以下3个命题等价：在上为凸函数；，，有；，且不全为零，有。5其中命题就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中

7、令就得到如下定义：设在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当有。葛丽萍[3]介绍了函数在区间上可导的等价条件：若为区间上的可导函数，可得出以下等价条件。为上的凸；为上的增函数；对上的任意两点，，有。2.2凸函数的一些性质2.2.1凸函数的连续性凸函数是数学分析中的一类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征。由于Jensen定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设，Jensen意义下凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数，选取实际问题中大量存在的区间上连续的函数作为讨论

8、对象，从凸函数的定义出发，研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题：当连续函数满足何种条件时，是区间上的凸函数；当凸函数满足何种条件时，是区间上的连续函数；连续凸函数在区间上具有何种性质？宋方[6]提出，如果连续函数为凸函数，必定满足以下定义：对任意的及，恒有：。2.2.2凸函数的微积分性质刘鸿基，张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数，有着较好的分析性质，而关于凸函数，一般教材大都从几何意义方面引出定义，描述为：凸曲线弧段上