函数凸性在经济学中的应用

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1、编号：南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目：函数凸性在经济学中的应用完成人：班级：2009级01班学制：4年专业：数学与应用数学专业指导教师：完成日期：2013年4月15日目录摘要（1）0引言（1）1凸函数的定义及判定定理（1）2函数凸性在经济学中的应用（2）2.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用（2）2.1.1无差异曲线的凸性分析（2）2.1.2生产函数曲线的凸性分析（5）2.2凸函数在经济优化中的作用（6）2.2.1利润最大问题（7）2.2.2最省原材料问题（8）2.2.3最佳库存问题（8）2.3凸函数在风险态度中的应用（9）

2、3小结（11）参考文献（12）Abstract（12）函数凸性在经济学中的应用作者：刘畅指导老师：华柳青摘要：本文主要探讨了函数凸性怎样在有关经济学问题中发挥作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，帮助学生准确的掌握这些结论，培养学生利用数学知识解决经济问题的思维习惯.关键字：凸函数；边际分析；效用函数0引言凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen给出.凸函数具有较好的几何和代数性质,它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学

3、规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的.经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点.人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.1凸函数的定义及判定定理定义1设在上有定义，如果对任意，及,都有（1）则称为凸函数.等价定义记，则.由的凸性可知第10页（共12页）从而有，即，整理后可得（2）定理1设函数在开区间可导，函数在区间是凸函数当且仅当，且，.定理2设在开区间上可导，则下述论断相互等价：1）为上凸函数；2）为上的增函数；3）对

4、上的任意两点，有（3）定理3如果函数在上有存在二阶导函数,1）若对，有，则函数在上是一个凸函数.2）若对，有，则函数在上是一个凹函数.定理4（极值的第二充分条件）设在点的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，.1）若，则在取得极大值.2）若，则在取得极小值.2函数凸性在经济学中的应用2.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用2.1.1无差异曲线的凸性分析第10页（共12页）无差异曲线用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量，曲线、分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.曲线是连续的，并在轴上

5、的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数.从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为,式中和分别表示为商品1和商品2的变化量.当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值.第10页（共12页）利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，

6、当消费者沿着既定的无差异曲线由点运动到点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点经、、运动到的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的.这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越

7、来越少.经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用.2.1.2生产函数曲线的凸性分析短期生产函数表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分别为：,,或者第10页（共12页）根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系.图中的横轴表示可

8、变要素劳动的投入量，纵轴表示产量，、、三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线.由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量递