凹函数及其在经济学中的应用

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1、凹函数及其在经济学中的应用吴磊数学计算机科学学院摘要：本文详细的介绍了凹函数的定义和定理的证明，介绍了凹函数的相关性质及其在经济学中的应用。关键词：凹函数；效应函数；ApplicationofconcavefunctionandinEconomicsWuLei，DepartmentofMathematicsandComputerScienceAbstrac:ThispapersummarizestheapplicationsandproofsofKeywords:Lagrangemultipliermethod;condition

2、a1引言凹函数是数学中的一类重要函数，在不等式的证明中有着广泛的应用,在经济学的研究中有着重要的作用。本文对凹函数的定义和性质进行详细的介绍和阐述，并且对其定理进行多种证明，另外凹函数几点补充和含义说明，最后介绍其在经济学和消费群体中的应用，说明其意义。2凹函数及其应用2.1凹函数的定义定义1[1]设为定义在区间上的函数，若对，有，则函数是区间上的凹函数。它的几何意义是：定义在区间上的函数，函数曲线上任意两点间的弦之中点，总是位于具有相同横坐标的曲线上的相应点的下方。定义2[2]设为定义在区间上的函数，若对上任意两点，和任意实数，

3、总有，则称为区间上的凹函数。如果上述不等式严格成立，那么称函数是严格凹的。它的几何意义是：定义在区间上的函数，函数对应的曲线上任意两点之间的弦，总是位于连接此两点的曲线的下方。2.2拟凹函数的概念和定理定义3[3]设为的一个凸子集，若对任意的，，有则称函数是拟凹的。如果上述不等式严格成立，则称函数是严格拟凹的。引理1设都是凸性集合，可微函数是严格凹性的充分必要条件是：其中都是维向量，。证由于是，。而为严格凹的函数，由定义1利用在处的一阶Taylor展开式有于是，。以上每一步都可逆，引理得证。2.2凹函数的等价命题