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《经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D
2、来表示。凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<=tf(x)+(1-t)f(y)标准的凸函数是开口向上的。凹性f（tx+（1-t）y）>=tf(x)+(1-t)f(y)凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。若任意的x,y∈D,λ∈[0,1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n维空间的凸区域内，(x1,x2,.....Xn)中的两点X=(x1，x2,.........xn),Y=(y1,y2,.......
3、yn),设0<λ<1，如果：f[λx1+(1-λ)y1,λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn]<=λf(x1,x2,......xn)+(1-λ)f(y1,y2,......yn)则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f[λx1+(1-λ)y1,λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn]>=λf(x1,x2,......xn)+(1-λ)f(y1,y2,......yn)则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定
4、义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。二、关于拟凹性和拟凸性同样可以定义，在n维区域内的任何两个点X，Y，X=(x1，x2,.........xn),Y=(y1,y2,.......yn),对所有的0<=λ<=1，如果：f[λX+(1-λ)Y]>=min[f(X),f(Y)]则称f(X)是拟凹函数。同理，如果：f[λX+(1-λ)Y]<=max[f(X),f(Y)]则称f(X)是拟凸函数。可以证明，广义上讲，凹函数都
5、是拟凹函数，凸函数都是拟凸函数。（不失一般性的假设f(X)>f(Y)，代入凹函数的定义，即可证明）设曲线的方程为F（x），如果在一个区间上，F''（x）>0，则F（x）在区间内是严格凸的；如果F（x）<0，即二阶导数为负，则F（x）在区间内为严格凹函数。这个定理提供了检查具体函数的凸性和凹性的简易方法。例如，考虑函数f（x）=x↑3-3x↑2+3x，它的二阶导数是f''=6x-6，当x<1时，二阶导数是负数，f（x）是严格凹的；当x>1时，f（x）是严格凸的。下图中的表述是不准确的，图形是凹的，而函数恰恰是凸函数，图形是凸的
6、，函数却是凹函数。在n个变量的情况下，海赛行列式提供了检查具体函数凸性或凹性的方法。多元函数的二阶偏导数的海赛行列式的各阶主子式，在符号上交叉，则对应的函数在整个区间是严格凹的，如果各阶主子式都是正的，则函数为严格凸的。对于拟凹性和拟凸性的讨论就要用到海赛加边行列式。三、用效用函数和无差异曲线来说明拟凹函数和凸函数的关系二维平面上，很容易通过图形来直观地理解凹函数和凸函数，超过三维空间，凸性和凹性以及拟凹函数就难以用图形来表达，必须用数学来论证。经济学已经给出了系统的数学方法，且还在向前发展。我们知道，效用函数是根据主观的偏
7、好来设计的一种规律性的倾向，对于所有消费者都适用的实值效用函数是不存在的。为讨论问题方便，就要对构建的函数给出一定的假设约束。设序数的效用函数为：U=f(q1，q2)其中，q1和q2分别是消费的两种商品Q1和Q2的数量。这里就假定，f(q1，q2)是连续的，具有连续的一阶和二阶偏导数，并且是一个严格的拟凹函数。而且还假定效用函数的偏导数是严格的正数，以反映人们的需求，即不管对哪一种商品，消费者总是希望得到更多的。这里若证明效用函数是严格拟凹的，则需要满足原来的式子没有等于号就行。如果给定一个效用水平U0，U0=f(q1，q2
8、）就变成了同一效用下，两种不同消费品的组合，即无差异曲线，我们可以想象和观察到的是无差异曲线，而不是效用函数，其实观察到的无差异曲线是q2对q1的函数，q2=g（q1），可以证明无差异曲线是严格凸的，但效用函数却是严格拟凹的，是观察不到的，至少函数U=f(q1，q2）也是一个立体的图形，而
