多元函数的凹凸性

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1、第9卷曲靖师专学报第1期.。JooNlVl9JOURNAIOFQUJINGNORMALCOLLEGE多元‘函数的凹凸性张国坤(会泽四中),,摘要本文定义了多元函数的凹凸性概念并给出其利定方法最后把一元函数的詹生(Jensen)不等式推广到多元函数上去.关键词凹凸性多元函数不等式,,,,,,,,定义1nxl、、)eDP,(xixZ⋯xn)设D是维空间的一个区域若P(⋯,x,xx:,、2x一x:,,xxxn,,〔n则Q(+e(;一)+e(三)⋯n+8(孟一))任D则称n是凸区域否则称D为凹区域.,,2D上的函Pl(x;:xl2,xnl、Zx12,x22,定义设r(P

2、)是定义在凸区域数)P(,n,,0)是D上的任意两点记P一兰塑兰卫兰塑兰叁X一+X2与r李老(I)若恒有’一、Z乙2....,,。式,1)+成。2)1;,,。)(或L兀,1)+兀,2)1、;;。)且等号不恒成立则称f在D上是凹合合,(或凸)的:(2)若[F(p,)+f(p2)l/2>f(p。)或[f(p1)+f(p2)]/2

3、)△Z-AC若△《。且不恒为。那么当A>o或c>o心众,,.,,.>时函数f在D上上凹;当AO时f在D上严格上凹当八

4、‘‘。2,‘,‘材二(一x)八(亡叮)+2(一x)(夕一夕)八(七叮)+(夕一夕)石(亡叮)一,[(X‘),+(,‘一,。),】2一。!一,。)2(。2一,c),专一一,:(X‘),+(夕!一,。)c12一(X‘)2(BZ一“C),,告一一(i=l2),,,当△《o且A>0或C>o时M*(o有f(p;)+PZZf(po,<0()))当△且,,,A>oC>0M,>0r(pl)+f(Z>Zf。.或时有p)(p)定理得证利用泰勒公式,我们不难证明*:收稿日期I夕夕0一04一18曲靖师专学报自然科学版I夕90年第I期f总第吞期)2x,力是凸区域;.,定理设大D上的具有二

5、阶连续编导数的二元函数(l)设八总能分.,,.,,,,,x二,二解成几=士以19(y)人(xy),并且儿)19(xy)l石)I六(xy)l(或八(..,,,一】g!石簇一lhl)则浓D上是上凹(凸)的;(2)设(l)的条件成立并且关..,,,于儿xl与的两个不等式中等号始终不同时取得则D上是严格上凹(凸)石浓...,;二~,~,二0.的(3)若尤尤石则胜D上是线性的1和定理,.定理2显然不难推广到一般的元函数中去这里不在累述,,,,,,,3fD上的nD,=xlxZ⋯x1xZ⋯定理设是凸区域元函数f(刹(xxn)呀,D且an+l+a‘x,=0,a,是任意常数}是D

6、中的任意平面区域;(l)f在D上上凹艺,(凸)等价于r在D,上上凹(凸)或线性;(2)f在D上严格上凹(凸)的但非恒线性的.等价于r在D,上是严格上凹(凸)的;(3)f在D上是线性的等价于f在D,上是线性的,:;证明(只证严格上凹的情形)设f在D内任何平面区域D上均是严格上凹的对D上任何两点Pl、PZ,过P;、P:总有一平面区域D,,由于f在DI上严格上凹,故有,.,,代Pl)+r(P2)>2f(P0)因而f在D上严格上凹反之若f在D上严格上凹显然在任何D;上也是严格上凹.s,,定理4(Jcncn不等式的推广)设f(xy)是凸区域D上的连续函数任取n个正数i,,

7、,,,,,,,p使艺p‘二1任取Bi(xiyiDi=12⋯n记BO(xoyo)=正‘‘,‘‘,‘‘,。,。.(px尹夕H二刀天X夕小K=式xy)(1)若f在D上是上凹(凸)艺艺艺I一1‘一1,,。,的则H>K(H《K);(2)若f在D上是严格上凹(凸)的且B至少有两点不同则,,.H>K(H

8、xl十x:+一+x2.少