函数的凹凸性与拐点

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1、第16次理论课教学安排课程名称高等数学课程类型必修课√选修课授课专业授课内容2.4导数的应用（三）授课学时2授课类型理论课√上机课□讨论□习题课□其它□教学目的与要求1、理解曲线凹凸性的概念2、掌握曲线凹凸性的判别方法3、掌握拐点的求法教学重点、难点重点：曲线的凹凸性与拐点难点：曲线的凹凸性与拐点教学方法以讲授为主，讲练结合教学过程一、问题引入二、讲授新课三、总结及作业布置参考资料（1）《高等数学》夏国斌主编省规划教材、安徽大学出版社（2）《高等数学》程伟主编、孙祖康主审中国科技大学出版社（3）《高等数学》，夏国斌主编，电子科技大学出版社（4

2、）《高等数学学习指导》，吴方庭主编，电子科技大学出版社42.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点课题：曲线的凹凸与拐点目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点等方法。重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点教学方法：讲练结合教学时数：1课时教学进程：函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法图1从图1可以看出曲线弧ABC在区间内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该

3、弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC在区间内是凹的，曲线弧CDE在区间内是凸的．由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随4的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随的增大而减小．由于切线的斜率就是函数的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的

4、曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线的凹凸性可以用导数的单调性来判定．而的单调性又可以用它的导数，即的二阶导数的符号来判定，故曲线的凹凸性与的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1设函数在内具有二阶导数．（1）如果在内，＞0，那么曲线在内是凹的；（2）如果在内，＜0，那么曲线在内是凸的．例１判定曲线的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．定理2(拐点存在的必要条件)若函数在处的二阶导数存在,且点为曲线的拐点,则我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸．如果连续，那么当的符号由正变

5、负或由负变正时，必定有一点使＝0．这样，点就是曲线的一个拐点．因此，如果在区间内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点:(1)确定函数的定义域；(2)求；令＝0，解出这个方程在区间内的实根；(3)对解出的每一个实根，考察在的左右两侧邻近的符号．如果在的左右两侧邻近的符号相反，那么点就是一个拐点，如果在的左右两侧邻近的符号相同，那么点就不是拐点．例２求曲线的凹凸区间和拐点．解（1）函数的定义域为；（2）；令，得；（3）列表考察的符号（表中“”表示曲线是凹的，“”表示曲线是凸的）：1-0+曲线拐点4图2由上表可知，曲线在内是凸的，在

6、内是凹的；曲线的拐点为．例３已知点为曲线的拐点，求的值。要注意的是，如果在点处的二阶导数不存在，那么点也可能是曲线的拐点．例如，函数在点处的二阶导数不存在，但是点是该函数的拐点(图2)．小结本讲内容：１．函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。　　　　　　　２．描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近线）。作业：作业册第二章单元练习四4