【数学与应用数学专业】【毕业论文】数列、函数上下极限的性质及其应用

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1、（20__届）本科毕业论文数列、函数上下极限的性质及其应用摘要：极限是数学中的一个重要的基本概念，也是数学研究的一个重要内容，极限思想在数学中也起着非常重要的作用。上、下极限的概念是极限概念的延伸，在极限概念中占有重要的位置。本文首先介绍了数列、函数的上下极限的定义，并给出了几个等价定义的证明过程；然后介绍了数列、函数的上下极限的性质定理并给出了相应的证明过程；最后通过实例给出了数列、函数上下极限的相关理论在证明数列和函数极限存在性等方面的应用。关键词：上极限；下极限；数列；函数。Applyingandpropertiesofupperandlowerlimitsinsequencesand

2、functionsAbstract:Limitsisoneofthemostimportantbasicmathematicalconcepts,isalsoanimportanttoolofmathematicalresearch.Theconceptsofupperandlowerlimitsaretheextensionoftheconceptoflimits,possessestheveryimportantpositionintheconceptoflimits.Thismanuscriptdealswiththedefinitionsofupperandlowerlimitsin

3、sequencesandfunctionsandtheprocessoftheproofforsomeequivalentdefinitionsatfirst;secondly,weintroducethetheoremsonpropertiesofupperandlowerlimitsinsequencesandfunctionsandalsogivetheprocessofcorrespondingproof.Atlast,wepresentmanyexamplestoillustratethatthetheoryofupperandlowerlimitsinsequencesandfu

4、nctionsplayanimportantroleonprovingtheexistenceoflimits.Keywords:upperlimits;lowerlimits;sequence;function.目录1引言12数列、函数的上、下极限的定义32.1数列的上、下极限的定义32.1.1数列的上、下极限的定义32.1.2数列的上、下极限的几个定义的等价性42.2函数的上、下极限的定义52.2.1函数的上、下极限的定义52.2.2函数的上、下极限的几个定义的等价性63数列、函数的上、下极限的性质83.1数列的上、下极限的性质83.1.1数列的上、下极限的性质83.1.2性质的证明93

5、.2函数的上、下极限的性质103.2.1函数的上、下极限的性质103.2.2性质的证明124数列、函数的上、下极限的应用144.1上、下极限性质的应用举例144.2上、下极限的应用在极限运算及证明中的作用154.3上、下极限来刻画数列收敛的充要条件174.4上、下极限概念在数列与级数论中的作用185结束语20致谢21主要参考文献221引言众所周知，极限理论是高等数学的基础，其地位的重要性毋庸多言。极限思想在数学中起着非常重要的作用。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限

6、的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学家拉夫伦捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。”极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。提到极限思想，就不得不提到由古希腊的著名哲学家芝诺提出的著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名

7、言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”这更是从直观上体现了极限思想。我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。以上诸多内容可以上溯到2000多年前，都是极限思想萌芽阶段的一些表现，尽管在这一阶段人们没有明确提出极限这一概念，但大致在16、17世纪真正意义上的极限得以产生。从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出