函数的上下极限及其应用 数学毕业论文

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1、2012届本科毕业论文函数的上下极限及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学08班学生姓名：指导教师：答辩日期：2012年5月3日新疆师范大学教务目录引言................................................................11.数列上下极限的基本概念12．函数上下极限的定义及等价述23．单侧上，下极限64.函数上，下极限的不等式6总结65.函数得上下极限列题6参考文献8函数的上下极限及其应用摘要：数列的上、下极限和函数的上、下极限是数列极限和函数极限的进一步加

2、深和推广，所以我们将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.关键词：函数；数列；上极限；下极限引言数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题..1数列上下极限的基本概念定义：数列的上，下极限可用语言来描述如下：数意指如下两条件成立：a）>0，终<（即>0，N>0当n>N时，恒有<）（此条等

3、价于：c>，终0，常>（即>0，N>0，n>N，使得>）（此条等价于：c<，常>c）。同样，意指：)>0，终>.)>0,常<.另外，当且仅当上无界时，规定；当且仅当时，规定=；当且仅当下无界时，规定；当且仅当时，规定.定理：1.任一有界数列，存在收敛的子数列（一下称之为致密性原理）.任何数列都有广义收敛子数列（广义收敛，意指及极限允许为无穷大）.2.数列的上极限的特征是：a）子数列{}使得.b）对于的任一收敛子数列{}，恒有.同样，下极限特征是：)子数列{}，使.）收敛子数列{}，有.3.如{}是的子数列，则，1利

4、用这些，我们可以将上，下极限的问题，通过选子数列的方法解决。定义：数列的上，下极限，可利用确界的极限来描述：=，=.（式中改换成>n，不影响等式成立）.利用这种描述，关于上，下极限的不等式，可以通过建立确界的不等式，取极限得到。.2函数的上下极限的定义及等价述为了引进函数的上，下极限，我们先来定义函数的子极限.定义点称为集合E的聚点，函数f在集合E上有定义，数称为在处的子极限（或部分极限），当且仅当使得且（时）。例如1）函数=在E=上有定义，此时都是函数在处的子极限2)当时的图像在与之间无限次振动，故时，任何都是在处的子极限.3

5、）Dirichlet函数，（1）当为有理数时，（2）当无理数时在任一点处，都是的子极限.现在介绍上，下极限的定义.定义设在集合E上有定义，是E的一个聚点，当且仅当数A为在处所有子极限的最大者时，A称为在处的上极限，记作.当且仅当在附近上无界（即：>0，>0，，0<<使得>M）规定.2类似，子极限的最小者B定义为在处的下极限，记作，当且仅当在附近下无界时，规定.当且仅当时，规定，对有类似的规定.下面介绍函数上，下极限的等价描述.定理1若在集合E上有定义，为E的一个聚点，在附近有界，则如下三条等价：i).ii)在附近满足条件：a）>

6、0,>0,当，0<<时，有0,>0,：0<<，a）和b)两个关系使得>A-ii）.证因所以，使得，(当时).故>0，>0，，时，有，.从而>0，>0，，既0<<，又>A-，此即2）中条件b)成立.现证条件a），用反证法.设，，，虽然但..因有界性，用致密性原理，有收敛子列（其中c为某一常数）.与A为最大子极限矛盾.条件a）获证.(证明)要证明.亦即：>0，要找使得时，有A-<0，，当，0<<时，有.故0，>0，有0<<，，从

7、而更有>（3）联立（1）和（3）式这就证明了式（1）.因此.因为是的增函数，故.已知，故,(不妨取)，使得时，有.从而有.故.由此，，使得即，，，（当）故A为在处的子极限.4最后来证A为子极限的最大者.设B>A为任一大于A的实数，则n充分大时，.据（3）式，有于是对一切：，，恒有.所以不存在，，，使得.故A是自极限的最大者.对于函数的下极限有完全类此的结论.定理若在集合E上有定义，为E的一个聚点，在附近有界，则如下三条件等价：i．.ii．在附近满足条件：）>0，，当，时有.）>0,>0,，0<<，使得iii.=.推论1)如在附近

8、有界，则在处一定有有限的上，下极限.2)不论在附近是否有节，下式总成立：,.3）.4）对于任一子极限，恒有.5)>0，，当，时有