二元函数可微性的研究

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1、摘要：二元函数的可微性是高等数学重耍组成部分，本文给岀了四个二元函数可微的充分性条件定理的证明，应用上述定理可以判断一些二元函数的可微性。关键词：二元函数；可微性；偏导数；连续；方向导数分类号：0174文献标识码：A一、引言一元函数可微与可导互为充要条件，所以一元函数的可微性容易判别。但对于二元函数可微与偏导数存在不是互为充要条件的，那么如何判别二元函数的可微性那？下面从二元函数可微与偏导数存在且连续之间的关系，可微与二阶偏导数存在的关系，可微的定义，可微与方向导数之间的关系出发，给出判别二元函数可微的四个定理。二、二元函数可微的定

2、理及其应用高等数学和数学分析上二元函数可微性的充分条件是各偏导数存在且连续[h21,将此条件适当降低，则可得如下定理。定理1若二元函数z=/（x,y）的两个偏导数/（x,y）,,（x,y）在点（兀,儿）某邻域存在，且偏导数与中至少有一个在点（兀，儿）连续，则二元函数z=/（%,y）在点（九,几）可微分。证明：不妨设/（x,y）在点（兀,九）连续。二元函数z=/（x,y）在点（九，儿）的全增量Az=/（x0+Ax,儿+Ay）-/（兀，儿）二/（兀+心,儿+Ay）—/（兀+Ar,%）+/（兀+Ax,儿）一/（兀,儿）⑴因为Z（x,y）在

3、点（心几）存在，即肌兀兀+心巳）7（兀心）=/（兀,几）,由心Ax函数存在极限与无穷小关系定理知，/（兀+Z）7d丿二f（兀,几）+q（ax）,其屮欧心）为ArTO时的无穷小，所以+心,几）一/（兀,几）二力（兀，几）心+Ot（心）心o（2）由一元函数拉格朗日中值定理得/（兀+心,几+Ay）-/（x0+Ax,几）二/（兀+Ax,y°+3Ay<&v1由于£（兀，y）在点（兀，几）连续，所以有1]吧fY（x0+Ax,y°+=X（x0，几）A>tO由函数存在极限与无穷小关系定理知，/(竝+心,几+二./：(竝,几)+0(/7),其中/

4、7=7(Ar)2+(Ay)2,(当AxtO,®t0时，即qtO时，)0(/?)为当qtO时的无穷小。所以有£(兀+心,九+%)；)△『二/.(兀，几)△y+0(p)Ay。(3)Az=fx(xQ,%)Ax+a(Ar)Ax+fy(xQ,y0)Ay+0(/?)©=z(兀,X,)Ar+fy(x0，xW+Q(Ax)Ax+0(%y,当Axt0,t0时,即pt()时，oa(Ax)—>0,0(/?)—>0o当qtO时,q(Ax)Ax+0(p)050(心)

5、+

6、0(P)

7、tO,即

8、(九，几)Ay+oS),故二元函数z=/(x,>')在点(兀,％)可微分。例题：判断二元函数z=f(x,y)=<才COS丄+2”兀HO亠isc3-r仙Mx在点(0,0)的可微性。2y,x=0解：当兀工0卩寸，/(2xcos—+sin—,AXX当兀=0时，Axf(0,y>lim/(^y)-/(0>y)=恤竺血出=limAxcos丄=0。xMtOA-vAr^O人工Av-40人工2xcoS-+sin-,X^有£(00)=0,即偏导函数yg)在点(o,o)存0,x=0在。又由于lim/(>?)=lim2xcos—+sin丄不存在，所以//

9、%,y)在点(0,0)处存在且不连续。由于£(兀』)二2,故有£(兀』)在点(0,0)处连续。由上面定理1知，二元函数z=/(x.y)在点(0,0)可微分。研究二元函数可微性时，按上述定理应该判别两个偏导函数中至少有一个偏导函数连续，但是有时偏导函数连续性条件常常不满足或不容易判断。由此是否有可能通过考虑二元函数的二阶混合偏导数存在，来判断二元函数的可微性，于是得到下面的定理。定理2若二元函数z=/O,y)的两个偏导数/Q,y),/v(x,y)在点(九，几)某邻域(/存在，且二阶混合偏导数九(兀,y)或者九(x,y)中至少有一个存在

10、，则二元函数z=/(x,y)在点(兀,几)可微分。证明：不妨设九(“)存在，因为九(兀，儿)二,即lim/v(%,yo)=/v(xo,yo),从而/(x,y0)在点(竝，儿)连续，根据定理1可知，二元函数z=/(x,y)在点(九,几)可微分。例题判断二元函数z=/(x,y)二2*V)才+歹2，(3)丰(°，°)在点(°,°)0,(x,y)=(0,0)处的可微性。解：由于2・丄f(0,0)二lim・/(兀0)-./(0,0)二

11、im=lim兀sin丄二0X5兀_0»兀》X2…1)厂sin—上小v广(°,)‘)一/(0,0)vy2v•1

12、c£(°，°)二吨•。='!19=l}mysin-=0,当(兀,刃丰(0,0)时，/(X,y)二2ysin1一一旦飞•cos1,,x+yx+y兀+y当(兀，刃=(0,0),/(兀,y)=0f(0,0)二lim―=lim—=lim-=