strongart数学笔记：谈谈banach空间中的schauder基

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1、谈谈Banach空间中的Schauder基最近学了一点Banachspace中的基（Schauderbasis），发现这里面还真是别有洞天，可惜现在的泛函分析书大都不介绍这个内容。下面我就来小结一下这里的故事，相信有水平的人自然能够品味其中的趣味。先来看为什么要在Banach中定义基，实际上它背景是Banachspace中的级数收敛，这至少要求有一个拓扑结构来刻画极限。此外，我们一般不希望由于有洞而使得收敛落空，完备性也是经常假设的条件。事实上，我们的确可以在完备的拓扑向量空间内定义基，比如lp（0

2、价值。我们可以先定义一个基范数，然后利用恒同映射的范数比较定理（这是开映射定理的标准推论）估计出投影算子的上确界，这就是所谓的基常数，由此可以方便的估计投影算子之间的关系。讨论一下C[0,1]中的基是非常有意思的，它揭示了抽象基理论与经典分析之间的联系。多少有点让人意外的是，尽管多项式函数系{1，t，t^2，t^3，……}是线性无关的，但它并不是C[0,1]中的基，因为若是给定一个并非n阶可导的连续函数，其Taylorseries就不收敛于其自身。同样结论对三角函数系{1，e^it，e^(2it)，e^（3it)……}也成立，存在Fourier级数并不收敛于自身的连续函数是Fourierana

3、lysis中的标准定理。可有趣的是，C[0,1]中的确存在基，其构造稍微有点复杂，被称为classicalSchauderbasis。更加有趣的是，它竟然还有由多项式或者三角函数构成的基，利用WeierstrassapproximationTheorem，我们可以用它们来逼近classicalSchauderbasis，然后用基的StabilityTheorem说明它也是Schauderbasis.下面我小结一下各种常见的基与常见空间之间的匹配关系，其中c0、lp（1≤p＜∞）(l∞不可分，因此不存在基）、JamesspaceJ(一个非常有趣的空间，非自反但等距同构于其二次对偶空间）都是标准单

4、位基，C[0,1]中的是classicalSchauderbasis，Lp[0,1]（1≤p＜∞）中的是Haarbasis.（若是发现下表有误，请及时联系我更正）基空间c0l1lp（1

5、数的严格性。2.无条件基的背景是Banach空间中级数的无条件收敛，在数域上无条件收敛于绝对收敛是一致的，但只要在可分Hilbertspace上就容易发现它们的差别。无条件基提供了更好的对称性，可以仿照基定义无条件基范数与无条件集常数，其不等式刻画中可以把从1开始的（有限）级数和换成任意的（有限和）。对称基在无条件基的基础上还要求基等价，其理论将是更为深入的。3.收缩基与有界完备基有一定的对偶关系，其中c0与l1的特征刻画是本质的。事实上，我们有这样的命题：1）X中的基{xn}是收缩的←→{xn*}是X*中的有界完备基→l1不嵌入X；2）X中的基{xn}是有界完备的←→{xn*}是X*中的收缩

6、基本列（不一定是基！）→c0不嵌入X。假若{xn}还是无条件基，那么最后的蕴含关系反向也成立。C[0,1]具有可分空间的万有嵌入性质，因此它既没有收缩基，也没有有界完备基。若某个空间同时有这两种基，那么我们有如下结论：3）X中存在基既是收缩的又是有界完备的←→X是自反空间。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是

7、一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！