strongart数学笔记：谈谈c星代数内的严格正元素

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1、谈谈C*-代数中的严格正元素在C*-代数理论中，除了通常的正元素序结构之外，还有一类严格正元素也是比较有意思的，并且对算子代数的KK-理论有铺垫作用，下面我就来简单科普一下。所谓严格正元素，就是要比正元素还要正的元素。在一般连续函数空间C(Ω）内，非负值的元素就是正元素了，但严格正元素就必须是正值的元素。但一般C*-代数A内没有取值一说，但我们可以考虑一个形式值域，定义正元素x∈A是严格正元素，若sA（或Ax，或xAx）的闭包就是A.假若A是算子空间的话，那么正算子T是严格正的iff它的值域是稠密的。回到C(Ω）内来看，假若f∈C(Ω）在某一点x∈Ω取点，那么fC(Ω)的闭包

2、在x处也为0，因此f就不是严格正的，反之逆推即可。严格正元素除了这样的值域定义之外，还可以通过正泛函来定义，这是由C(Ω）内赋值泛函x(f)=f(x)的启发得到的。C*-代数A内的元素x称为严格正的，假若对任何A的态φ，均有φ(x)＞0.这里的态（state）就是指范数为1的正泛函，本质可以用非零正泛函来代替。这样的正泛函定义域前面的值域定义是一致的，假若xA不在A内稠密，那么可以得到非零正泛函在xA上为零（这一点可以用Hahn-Banach定理证明，也可以作为更一般的Arveson扩张定理的推论，但我奇怪的是为什么没看到有直接以态形式出现的版本！），归一化之类就得到相应的态

3、。反之，假若有态在为零，那么用相应的Cauchy-Schwarz不等式就可以得到它在整个xA上为零，再由xA稠密性得到这个态为零，矛盾！严格正元素的重要意义在于它等价于σ-单位的存在性，我们都知道C*-代数总是存在逼近单位的，但一般而言这样的逼近单位不一定可数，可数的逼近单位就是σ-单位。假若C*-代数存在严格正元素h，那么可以证明h^(1/n)就是σ-单位，而且它们还是两两交换的；反之假若存在σ-单位{h_n}，那么h=Σh_n/2^n就是它的严格正元素，因为对任何态φ，我们有φ(h)=0→φ(h_n)=0→φ(x)=limφ(xh_n)=0→φ=0（！）.由此可见，严格正

4、元素的意义就在于可以把很多C*-代数的性质浓缩到一个元素里面。显然，对于可分C*-代数而言，一定是存在σ-单位的，因此也必有严格正元素。但反之不然，一般当Ω为σ-紧时，C(Ω)必有严格正元素，不妨就令Ω=Z，这样的C(Z)=l^∞就不是可分的。严格正元素的意义在Hilbert模上有进一步的体现，所谓的HilbertB-模E，粗略的讲就是在C*-代数B上由内积<,>:E×E→B给出的抽象Hilbert空间。当B是复数域C时，对应的Hlbert模就还原为一般的Hilbert空间。在两个HilbertB-模上可以定义态射，而HilbertB-模E到自身的所有态射记作B(E)，它构成

5、一个C*-代数，而所有的有限秩态射的闭包则构成B(E)的(双边)理想，记作K(E)，它实际上就相当于一般Hilbert空间上的紧算子理想。在Hilbert模的意义上，我们有如下的对应结论：设E是HilbertB-模，K(E)的正元素T是严格正的iffT的值域在E内稠密。把σ-单位推广到Hilbert模上，就得到了可数生成的概念。HilbertB-模E是可数生成的，若存在E内的可数集{x_n},使得{x_nb；n∈N，b∈B}在E内稠密。对此，我们有著名的Kasparov稳定性定理：若E是可数生成的HilbertB-模，则有E⊙H_B=H_B，它的推论就是HilbertB-模E

6、是可数生成的iffK(E)有σ-单位.上面的一些结论在Kasparov的技术性引理中有所应用，进而可以定义KK群的Kasparov积：KK(A,B)×KK(B,C)→KK(A,C)，这就构成了算子代数KK-理论的必要基础。扩展阅读：Wegge-OlsenNE.K-theoryandC*-algebras:aFriendlyApproach[M].Oxford:OxfordUniversityPress,1993.（非常生动活泼的一本书，需要先学一点C*-代数）BlackadarB.K-theoryforoperatoralgebras[M].CambridgeUniversi

7、tyPress,1998.（学习算子K-理论的好书，有启发性且信息量大）JensenKK,ThomsenK.ElementsofKK-theory[M].Birkhauser,1991.（KK-理论的经典入门书，写了很多细节的东西）本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学