strongart数学笔记：谈谈jb代数与jbw代数

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1、谈谈JB代数与JBW代数我们先从Jordan代数开始介绍，它是由物理学家PascualJordan（不是数学家CamilleJordan）在研究量子力学时引入，主要是对反交换子a·b=(ab+ba)/2的性质公理化之后的产物。最基本Jordan公理有如下两条：1）交换性：a·b=b·a2）幂结合性：（a·b）（a·a）=（a·（b·（a·a））引入交换子[a,b]=ab-ba与结合子[a,b,c]=(ab)c-a(bc)（这里省略乘法符号·）的概念后，这两条性质可以写成：1*）交换性：[a,b]=02*）幂结合性：[a,b,a^2]=0由此可见，

2、Jordan与李代数的结构有不少相似之处，其中幂结合性就相当于李代数定义中的Jacobi恒等式。由具体的反交换子a·b=(ab+ba)/2构成的Jordan代数称为特殊Jordan代数，作为著名的Macdonald定理的推论，我们有下面的Shirshov-Cohn定理：由两个元素（与1）生成的Jordan代数都是特殊Jordan代数。非特殊的Jordan代数被称为是例外的，例外Jordan代数的典型例子是27维Albert代数H_3(O)，其中O是Cayley八元数。在Hilbert空间H上的算子代数B(H)中，这个反交换子运算是保自伴元集B(H

3、)_sa的。受此启发，作为Jordan代数与Banach代数结合的产物，JB代数一般都是定义在实Banach空间上的。下面我们看JB代数的定义，带严格范数的Jordan代数称为JB代数，假若它满足下列三个条件：1）乘积不等式：‖a·b‖≤‖a‖‖b‖2）C*-条件：‖a^2‖=‖a‖^23）序条件：‖a^2‖=‖a^2+b^2‖其中第一个条件是Jordan代数的范数要求，只满足第一条件的Banach代数称为JordanBanach代数(JB≠JordanBanach！）；第二个条件源于C*代数，接下来我们会看到JB代数（或JBW代数）中由很多与C

4、*-代数（或W*-代数）类似的性质；最后的序条件给我们带来了一个很方便的JB代数的判定定理：对于有完备序单位的的Jordan代数，只要满足-1≤a≤1→0≤a^2≤1，就可以判定它关于序范数构成JB代数。下面是几个JB代数的基本例子：1）JC代数，即B(H)_sa内范数闭Jordan子代数，它就相当于特殊的Jordan代数。2）有限维的形式实Jordan代数，这里的形式实是指平方和为零则各项为零，形式实Jordan代数的典型例子有H_n(R)，H_n(C)，H_n(H),若n≥2；H_n(O)，若n=2，3，其中括号内的R、C、H、O分别指实数、

5、复数、四元数与八元数。由于C*-条件的引入，JB代数的很多与C*-代数类似的性质。最主要的应该说是关于交换C*-代数的Gelfand-Naimark定理，所对应结论是任何结合JB代数A等距同构于C_0(X)，其中X是局部紧Hausdorff空间，同时A是带单位的iffX是紧的。它的证明主要是复化后借助交换C*-代数的结论给出，注意在JB代数中的交换条件就是第一条Jordan公理自带的，需要验证主要条件变成了可结合性。由此出发，对任何a∈A，我们可以得到一个局部化的谱定理。为此先定义由a生成的JordanBanach代数C(a），它是指包含a与1的

6、最小范数闭Jordan子代数，自然满足可结合性条件。这样我们就可以得到如下结论：C(a)在等价范数下等距同构于C（sp（a）），其中sp（a）是元素a的谱。在C*-代数中，还有比Gelfand-Naimark定理更一般的GNS结构，在JB代数中是不是也有类似结论呢？至少对于Jordan矩阵代数的情形有如下结论：设A=H_n(R)，n≥2是Jordan矩阵代数也是JB代数，假若R是可结合的（特别n≥4），那么存在M_n(R)在复Hilbert空间上的*表示把A等距映射到可反（reversible）JC代数上，这里的可反性是指它对于广义Jordann

7、元积{a_1,…,a_n}=(a_1…a_n+a_n…a_1)/2是封闭的。利用Gelfand-Naimark定理可以得到JB代数A的正锥A+的刻画，实际上我们有A+={a^2;a∈A}，由此可以证明JB代数都是形式实的。假若a_1,…,a_n的平方和是0，那么a^2+…+a^n作为正元一定形如b^2，再利用JB代数的定义条件2）与3）,‖a_1‖^2=‖(a_1)^2‖≤‖(a_1)^2+b^2‖=‖(a_1)^2+…+(a_n)^2‖=0，注意到这里a_1的一般性即可得证。此外，JB代数还有一下与C*代数类似的性质；1）JB代数有递竲逼近单位

8、。这里JB代数A的递增逼近单位是指网{u_i}（i∈I），满足条件a）‖u_i‖≤1，对任何i∈I；b）i≤j时，0≤u_i≤u_j；c