strongart数学笔记：谈谈w-星代数的分类与结构

《strongart数学笔记：谈谈w-星代数的分类与结构》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、谈谈W*代数的初级分类与结构对于W*代数（vonNeumann代数），一般可以分成I、II、III三大类，其中穿插着离散与连续、有限与无限、半有限与纯无限等标准，下面我就来对这些繁杂的分类做一番梳理。对W*代数分类的研究，一个最重要的工具就是投影。为什么不先研究C*代数分类吗？这是因为由于二次交换子定理，W*代数是弱闭的，其中有着良好的投影性质：存在单位元，可以方便的进行直和分解，还有投影比较定理等等。我们可以定义投影p为有限的，若q≤p且q～p，则q=p，反之则称为是无限的。一般的Abel投影都是有限的。不包含任何有限投影的投影称为纯无限的。可以证明在W*代数中，既存在最大的有限中心

2、投影z1，也存在最大的纯无限中心投影z3，于是就有分解1=z1+z2+z3.当z1=0时，W*代数称为真无限的；当z3=0时，W*代数称为半有限的。由此可以把W*代数分成有限的、半有限且真无限与纯无限三类。W*代数称为离散的，若任何非零中心投影都包含非零交换投影，反之则称为连续的。（I）型的W*代数就是指离散的W*代数，（II）型的W*代数是指半有限且连续的，而（III)型的W*代数则是纯无限的，其中（I）型的W*代数又可以分为有限的（In）型与无限的(I∞）型，而（II）型的W*代数也可以分成有限的（II1)型与无限的（II∞）型。（I）型W*代数的结构是完全确定的，它同构于Z⊙B（

3、Hn），其中Z是W*代数的中心，⊙表示投射张量积，而B（Hn）表示n维Hilbert空间上的有界线性算子，n=∞，1,2，….由此可见，我们通常所见到的W*代数都是（I）型的。而II∞型W*代数实际上就II1型W#代数与I∞型W*代数的张量积，更加深刻的研究表明，III型的W*代数还有进一步的分类，并且可以视为II∞型W*代数与实数集R的交叉积。对于II、III的W*代数，并没有直接的结构刻画，可以通过它的迹进行研究。所谓的迹，实际上就是可加的正泛函，在规范化之后也可以用迹态来刻画。这里我们更关注有限与无限的问题。基本结论如下：1）W*代数M是有限的（或半有限的）iffM上存在忠实的正

4、规有限（或半有限）迹。2）W*代数N是真无限（或纯无限的）iffM上不存在非零正规有限的（或半有限的）迹。对有限的W*代数，我们还有拓扑与投影的方面进行刻画：3）W*代数M是有限的iff*运算在M的有界球内强连续。4）W*代数M是半有限的iff存在M的正交有限投影列{pn}，使得Σpn=1.5）W*代数M是真无限的iff存在M的正交投影列{pn}，使得Σpn=1且各pn～1.其中命题4说明半有限实际上就相当于可数的情形，把命题4与命题5结合起来，就很容易得到II∞型W*代数的投影特征。对于II、III型W*代数，尽管已经有了相对完备的刻画，可实际上即使是找几个例子，也不是太容易的问题。

5、数学家常常对其中的因子（即中心平凡的W*代数）更有兴趣，实际上在无穷维可分Hilbert空间上，各种类型的因子都是存在的。一般的W*代数都可以表示为因子的正向积分，这样的领域被称为约化理论。对于因子的更多例子，请参考BruceBlackadar的OperatorAlgebras（顺便提一下，此书是算子代数的好书，属于那种内容丰富，又比较为读者着想的类型）。这里我只给一个最简单的例子，对于一个无穷共轭群G（非平凡共轭类有无穷个元素），其正则表示空间U（G）就是一个II1型的因子，再把它与一个I∞因子做张量积，就能够得到一个II∞的因子。对于这些类型的W*代数，可以总结为下表：类离散/连有

6、限/无半有限/纯无特征数集型续限限In离散有限半有限{0,1，…，n}I∞离散真无限半有限{0,1,…,∞}II1连续有限半有限[0,1]II∞连续真无限半有限[0,∞]III连续纯无限纯无限{0,∞}最后一列的特征数集实际上就是所谓维数函数的值域的标准化，但这个名称却是我新加的，因为它实在是一个非常有用的东西，可以直观揭示出W*代数的结构。像有限无限之类的，完全可以从特征数集中看出来，同时还能看出各类型W*代数的张量积，比如In⊙Im=Imn，I⊙II=III，any⊙III=III等等。唯一有个不协调的地方，就是那个III型的W*代数竟然也被称为连续的，这大概可以说是文化方面的一点

7、约定吧。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Stronga