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1、浅谈量子群的基本代数结构(2014-02-0214:28:23)量子群（Quantumgroups）是一类特殊的Hopf代数，可以视为q-量子化的李代数，其表示理论于Yang-Baxter方程有关，还可以用来表示扭结的不变量。这里我们主要介绍量子群中出现的基本代数结构。先从Hopf代数开始，假设读者已经掌握基本的Hopf代数结构（H，μ，η，Δ，ε，S）（参见[2])，这里只讨论两个常见的例子。一是群代数k[G]上的Hopf代数结构，从元素x∈G出发，可以得到满足关系Δ（x）=x⊙x的元素，称为类群元素（grouplikeelement）。在一般Hopf代数中，所有的类群元素确实构成一
2、个群。第二个是李代数g的万有包络代数U（g),从元素x∈g出发，可以得到满足关系Δ（x）=1⊙x+x⊙1的元素，称为本原元素（primitiveelement）。接下来我们开始做q-量子化，主要思想就是做乘法的非交换性。从交换运算推广到非交换运算，首先是加法的非交换性，由此得到交换子[a,b]=ab-ba，把它公理化就得到了李代数。现在我们还有更进一步，考虑乘法的非交换性，设定一个常数q≠1，使得ab=qba.这一点从基本的组合数开始构造，用（n）_q=1+q+…+q^(n-1)=(q^n-1)/(q-1)代替自然数q，由此定义q-组合数，q-指数等等。以后为了避免枝节，一般假设q不是
3、单位根。一般情形的量子矩阵群是比较麻烦的（参见[3])，这里我们只看二阶的特例。先看q-量子矩阵群M_q(2),，它实际上是二维q-向量空间上的算子，这里的二维q-向量空间是指它的两个坐标（x，y）满足yx=qxy.设矩阵A=[a，b；c,d]与其转置都作用在这个二维q-向量空间上，那么就得到六个基本关系：ba=qab,db=qbd;ca=qac,dc=qcd;bc=cb,ad-da=(q^(-1)-q)bcM_q(2)就是k{a,b,c,d}对于这六个基本关系式的商，它实际上是基为{a^ib^jc^kd^l}_i,j,k,l≥0的无零因子的Noether环。我们还可以定义A=[a，b
4、；c,d]的q-行列式为det_q=ad-q^(-1)bc，它位于M_q(2)的中心。M_q(2)上的代数结构由通常的矩阵乘法给出，其上代数结构可以给定为：Δ(A)=A⊙A（按照矩阵乘法给出张量积），ε(A)=I（单位矩阵）我们还可以定义q-量子一般矩阵群GL_q(2)=M_Q(2)[t]/(tdet_q-1)与q-量子特殊矩阵群SL_q(2)=GL_q(2)/(t-1),在GL_q(2)与SL_Q(2)上，我们就可以定义对极映射S，使其成为Hopf代数：S([a，b；c,d])=(det_q)^(-1)[d,-qb;-q^(-1)c,a]还有一个重要的例子就是李代数sl（2）的量子包
5、络代数U_q=U_q(sl(2)),它由四个变量E，F，K，K^(-1)生成，满足基本关系：KK^(-1)=K^(-1)K=1，KEK^(-1)=q^2E，KFK^(-1)=q^(-2)F，[E,F]=(K-K^(-1))/(q-q^(-1))它实际上是以{E^iF^jK^l}_i,j≥0，l∈Z为基的无零因子的Noether环。当q=1时，它可以被还原成李代数sl（2）的包络代数U=U（sl（2））.在U_q上，我们可以定义这样的双代数结构：Δ(E)=1⊙E+E⊙K，Δ(F)=K^(-1)⊙F+F⊙1，Δ(K)=K⊙K，Δ(K^(-1))=K^(-1)⊙K^(-1)ε(E)=ε(F)
6、=0，ε(K）=ε(K^(-1))=1进而定义其Hopf代数结构为：S(E)=-EK^(-1)，S(F)=-KF，S(K)=K^(-1)，S(K^(-1))=KHopf代数U=U(sl(2))与SL(2)之间存在着对偶关系，我们也可以类似得到SL_q(2)与U_q之间的对偶关系。接下来我们考虑双代数上的辫结构。设（H，μ，η，Δ，ε）是双代数，它是拟上交换的，若存在H⊙H内的可逆元素R，使得对任何x∈H，有Δop(x)=RΔ(x)R^(-1)这里的元素R称为万有R-矩阵。拟上交换的双代数（H，μ，η，Δ，ε，R）称为辫的（braided），若其万有R-矩阵满足条件：(Δ⊙id)(R)=
7、R_13R_23,(id⊙Δ)(R)=R_13R_12可以证明，对于辫双代数（H，μ，η，Δ，ε，R），其万有矩阵满足所谓的Yang-Baxter方程：R_12R_13R_23=R_23R_13R_12以及关系：（ε⊙id)(R)=1=(id⊙ε)(R)假若把双代数升级为Hopf代数，我们可以对应得到辫Hopf代数（H，μ，η，Δ，ε，S，R），满足关系：（S⊙id)(R)=R^(-1)=(id⊙S)(R)与（S⊙S)(R)=R辫Hopf代数D
