strongart数学笔记：谈谈线性代数群的基本结构

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1、谈谈线性代数群的基本结构(2014-02-2415:44:46)有些网友说代数几何太难学，这里我建议他们可以学一点代数群。有些学院派可能会引用标准的学科分类，说这个代数群属于几何不变量理论。实际上，问题没有那么复杂的，线性代数群可以被嵌入到矩阵群里面，本质上就是一个代数几何观点下的线性代数，其中代数几何就只是自带的入门版。下面我就来谈一下线性代数群的基本结构，为了避免枝节问题，约定这里的基域k是特征为零的代数闭域。所谓代数群，实际上就是代数簇加上一个群结构。彷射代数簇加上群结构就是仿射代数群，假若是射影代数簇加上群结构则成为Abel簇，更一般的概型加上群

2、结构的话就是群概型了，后者可以通过函子表示来刻画，在一定意义上可以等价于Hopf代数。这样的函子表示自然也可以反映在线性代数群上，最常见的是k的加法群G_a由k[T]表示，k的乘法群G_m由k[T,1/T]表示，那么GL_n(V)又该如何表示呢？答案是表示为k[T_11,T_12,…,T_nn,1/det(T_ij)].一般加上群结构之后，就会表现出一种各向同性的性质，也就是说在各个点的几何性质都是一样的，比如光滑流形加上群结构得到李群，其切丛就有可平凡化的性质。对于彷射代数族而言，可以导出彷射代数群一定是非异的，假若它有某个奇点的话，那么在群作用下就会

3、使得所有的点都是奇点，但一般彷射代数族的奇点至少是低一维的！我们再看仿射代数群的一般结构。首先是仿射代数群与线性代数群的等价性。仿射代数群总有忠实的有限维表示，因此我们把任何仿射代数群G直接嵌入到GL_n内，也就是说仿射代数群都是矩阵群，因此又称为线性代数群。由此可得，并不是所有的李群（改变拓扑之后）都能变成线性代数群，比如SL(2，R)就没有有限维的忠实表示。对于GL_n的任何元素s，我们均有Jordan分解，把它分解成彼此交换的半单(semisimple)与幂零(nilpotent)元素的和，进而得到半单与幂单(unipotent)元素的交换积：a=

4、a_sa_u=a_ua_s这里群G内的半单元素是指其极小多项式有不同的根，换句话说它可以在k上对角化，而幂单元素则是指x-1是幂零的。线性代数群G是半单元素与幂单元素分别组成集合G_s与G_u，对于交换的线性代数群而言，G_s与G_u都是G的闭子群，我们有G=G_s×G_u线性代数群可以按照代数簇继承连通性，若G是连通的，那么G_s与G_u也都连通。可以证明，一维的连通线性代数群一定是交换的，因此只能是G_s或G_u，分别对应G_m与G_a.所有元素均为半单的线性代数群称为可对角化群，G是可对角化群iff其特征X*(G)是有限型Abel群且是k{G}的k

5、-基iffG的任何有理表示都是一维表示的直和。这里的特征X*（G）是所有G到G_m的代数群同态的集合。连通的可对角化群称为环面。G是环面iffG同构于某个(G_m)^niffX*(G)是自由Abel群。X*(G)是自由Abel群可以解释为可对角化群的刚性，实际上我们有著名的刚性定理：设G与H是可对角化群，X是连通代数簇，若代数簇的态射f：G×X→H满足对任何给定的x∈X，g→f（g，x）是代数群同态，则f（g，x）与x无关。利用刚性定理，可以证明若H是G的可对角化子群，则其N_G(H)°=Z_G(H)，且N_G(H)/Z_G(H)有限。就一般的线性代数群

6、而言，我们有如下的基本框架：线性代数群的连通性实际上就等价于对应彷射代数簇的不可约性，由此我们可以得到G_a、G_m都是连通的。对于稍微复杂一点的情形，我们需要使用一个类似粘合的引理：设G_i是G的一族闭连通子群，则由G_i生成的子群H是闭连通的，并且H可以表示为有限个G_i的积的形式，由此我们可以得到SL_n的连通性。与李群的结论类似，当char（k）≠2时，0(n)不是连通的代数群，它由真连通分支SO(n).由陪集的同胚性质和仿射代数群的Noether性质，我们可以得到线性代数群G只有有限个不连通分支，即G/G^0是有限群，其中G^0是G的包含单位元

7、的连通分支。这个主要是因为在群作用下，各陪集之间相互同胚，但G是Noether拓扑空间，因此G^0的陪集只能是有限多个。连通的线性代数群半单的，是指它没有除1之外的闭连通交换正规子群，其典型例子就是SL_n.我们可以更系统的系统根基定义，先记R(G)(或R_u(G))为G的最大正规连通可解（或幂单）子群，称为G的根（或幂单根），若G的根（或幂单根）为1，则称G是半单的（或约化的）.事实上，幂单根就是根的幂单部分，这里根的意义就在于G的根（或幂单根）就是G是所有Borel子群（或幂单子群）的交的单位连通分支。仔细观察我们会发现，所有子群的交导致子群的正规性

8、，这是由其子群的共轭结构决定的。若连通线性代数群G是半单的，则有G=(G,G)；